Примеры решения и оформления задач

Расчётно-графическая работа по механике

Основные формулы.

Кинематика материальной точки

 

В Декартовой системе координат, используемой наиболее часто, положение точки А в данный момент времени характеризуется тремя координатами x, y, z или радиусом - вектором , проведенным из начала координат в данную точку (Рис. 1).

При движении материальной точки её координаты с течением времени изменяются. В общем случае её движение определяется скалярными уравнениями:

x = x(t), y = y(t), z = z(t) (1)

Эти уравнения эквивалентны векторному уравнению

(2)

где х, у, z – проекции радиуса-вектора на оси координат, а - единичные векторы, направленные по соответствующим осям. Уравнения (1) и (2) называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.

Мгновенная скорость в общем случае движения определяется первой производной от радиус-вектора по времени:

- вектор мгновенной скорости,

Проекции скорости:

Мгновенное ускорение:

Кинематика вращательного движения

 

Угловая скорость - векторная величина, характеризующая скорость вращения тела, численно равная первой производной псевдовектора угла поворота по времени t:

Угловое ускорение — векторная величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела.

Тангенциальное (касательное) ускорение (составляющая ускорения)

Нормальное (центростремительное) ускорение (составляющая ускорения) - векторная величина, характеризующя изменение направления скорости:

Модуль полного ускорения:

 

Динамика вращательного движения

Основное уравнение динамики вращательного движени ( Второй закон Ньютона)

,

где: -вектор импульса.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

(1)

где - суммарный момент внешних сил, приложенных к телу относительно оси вращения; J - момент инерции тела относительно той же оси; - угловое ускорение.

В динамике вращательного движения различают два понятия: момент силы относительно точки и момент силы относительно оси вращения.

Момент силы относительно точки О определяется как векторное произведение

,

где - сила, - радиус-вектор, проведенный из точки О, в точку приложения силы.

Момент силы относительно оси вращения есть проекция на произвольную ось z, которая проходит через точку О:

.

Где l – плечо силы, то есть кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы.

Момент инерции тела

или

,

где D m_i - масса элемента; r_i - расстояние от элемента до оси вращения; r - плотность вещества в элементе объема dV, находящегося на расстоянии r от оси вращения. Таким образом, задача нахождения момента инерции сводится к интегрированию.

Для расчетов моментов инерции относительно произвольной оси может быть использована теорема Штейнера. Согласно ей, момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела J_c относительно оси, проходящей через центр инерции тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями.

Момент импульса материальной точки определяется как векторное произведение

,

где m - масса материальной точки, - ее скорость, -расстояние от точки до оси вращения.

Величина момента импульса материальной точки равна

L=m v r

Момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси равен

,

где J – момент инерции тела, w -угловая скорость.

Закон сохранения момента импульса: в замкнутой системе суммарный момент импульса всех тел этой системы остается постоянным.

Кинетическая энергия вращающегося тела выражается формулой

Примеры решения и оформления задач.

Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид х = А + Вt + Ct ³, где А = 2 м, В = 1 м/c, C = -0,5 м/с ³. Найти координату х, проекцию мгновенной скорости и ускорения точки в момент времени t = 2 с.

Дано:	Решение
А = 2 м	Координату х найдем, подставив в уравнение движения численные значения коэффициентов А, В и С и времени t: х = (2 + 1× 2 – 0,5× 23) = 0. Проекция мгновенной скорости на ось х определяется как первая производная от координаты по времени

V_х = = B + 3 C× t ².

Проекцию ускорения точки найдем, взяв первую производную от проекции скорости по времени

a_х = = 6 C× t

Проверка размерности

[ V_х ] = = , [ а ]= = .

Подставляем числовые значения в момент времени t = 2 с

V_х = (1 – 3×0,5×2²) м/c = -5 м/c,

a_х = 6×(–0,5)×2 м/c ² = -6 м/c ².

Ответ: в момент времени t = 2 с проекция скорости материальной точки равна -5 м/c, проекция ускорения: -6 м/c ².

Пример 2. Из пущенной с поверхности Земли вертикально вверх ракеты вырывается вниз струя газа со скоростью относительно ракеты. Начальная масса ракеты с топливом равна , ежесекундный расход топлива равен (кг/с). Определить ускорение ракеты через время после старта, считая поле тяготения однородным.

Решение

Выберем неподвижную систему отсчета, связанную с Землей. В соответствии с условием задачи масса ракеты непрерывно уменьшается, и основное уравнение динамики необходимо использовать в виде обобщённого второго закона Ньютона. Запишем его в проекции на вертикальную ось 0у. Пусть - масса ракеты в произвольный момент времени - ее скорость в тот же момент. Для выбранного момента времени импульс ракеты равен Спустя время масса ракеты станет равной а скорость . Соответственно импульс ракеты примет значение Кроме того, выброшенная порция газа (которая тоже принадлежит рассматриваемой системе) в выбранной системе отсчета станет обладать импульсом - Тогда изменение импульса системы

и соответственно, уравнение (1.13) в проекции на ось 0у принимает вид

(*)

Раскроем скобки:

и после сокращений получим

Величины и стремятся к нулю. Поэтому произведение исключаем как бесконечно малую величину высшего порядка. С учетом этого соотношение (*) преобразуем к виду

После деления на получим

(**)

где - искомое ускорение ракеты. Запишем (**) в проекции на ось Оу:

(***)

Это уравнение аналогично второму закону Ньютона. Однако масса здесь не постоянна, и дополнительное слагаемое может быть истолковано как реактивная сила. Уравнение (***) является частным случаем уравнения Мещерского для движения точки с переменной массой. Для заданного момента времени формула для ускорения имеет вид

Замечание. Интегрируя это уравнение, можно получить зависимость скорости ракеты от времени, а затем и закон движения.

 

Пример 3. Водометный двигатель катера выбрасывает назад струю воды со скоростью м/с относительно катера. Расход воды в его турбине кг/с. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определить его скорость в спокойной воде через с после начала движения. Масса катера т.

Решение

Выберем систему отсчета, связанную со спокойной водой, ось координат – вдоль направления движения катера. Пусть в некоторый момент времени скорость катера равна Масса катера не изменяется, внешние силы отсутствуют, проекция относительной скорости поступающей в турбину воды равна - Уравнение движения запишем в проекции на ось :

или

Введем безразмерную переменную Тогда и после замены и разделения переменных получим

Аналогичное уравнение рассматривалось в примере 1. Интегрируем это уравнение:

или (*)

Из начального условия находим и приводим уравнение (*) к виду

Используя определение логарифмической функции, получим

или (**)

График этой функции приведен на рис.2. Скорость асимптотически стремится к предельному значению В этом случае скорость выбрасываемой струи воды в выбранной системе отсчета равна нулю, т.е. , и ускорения не будет.

Рис. 2

Подставив из условия с в выражение (**) и выполнив вычисления, получим ответ м/с.