Движение тела, брошенного горизонтально, со скоростью

1.1.32. Траекторией движения является парабола. Криволинейное движение по параболе обусловлено результатом сложения двух прямолинейных движений: равномерного движения по горизонтальной оси и свободного падения по вертикальной оси (рис. 1.9).

Рис. 1.9

Здесь – начальная скорость тела, – скорость тела в момент времени t, s – дальность полета по горизонтали, h – высота над поверхностью земли, с которой тело брошено горизонтально с скоростью .

1.1.33. Кинематические уравнения проекции скорости:

1.1.34. Кинематические уравнения координат:

1.1.35. Скорость тела в момент времени t:

В момент падения на землю y = h, x = s (рис. 1.9).

1.1.36. Максимальная дальность полета по горизонтали:

1.1.37. Высота над поверхностью земли, с которой тело брошено

горизонтально:

Движение тела, брошенного под углом α к горизонту
с начальной скоростью

1.1.38. Траекторией является парабола (рис. 1.10). Криволинейное движение по параболе обусловлено результатом сложения двух прямолинейных движений: равномерного движения по горизонтальной оси и равнопеременного движения по вертикальной оси.

Рис. 1.10

 

( – начальная скорость тела, – проекции скорости на оси координат в момент времени t, – время полета тела, h_max – максимальная высота подъема тела, s_max – максимальная дальность полета тела по горизонтали).

1.1.39. Кинематические уравнения проекции:

;

1.1.40. Кинематические уравнения координат:

;

1.1.41. Высота подъема тела до верхней точки траектории:

В момент времени , (рис 1.11).

1.1.42. Максимальная высота подъема тела:

1.1.43. Время полета тела:

В момент времени , (рис. 1.11).

1.1.44. Максимальная дальность полета тела по горизонтали:

1.2. Основные уравнения классической динамики

Динамика (от греч. dynamis – сила) – раздел механики, посвященный изучению движения материальных тел под действием приложенных к ним сил. В основе классической динамикилежат законы Ньютона. Из них получаются все уравнения и теоремы, необходимые для решения задач динамики.

1.2.1. Инерциальная система отчета – этосистема отсчета, в которой тело находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

1.2.2. Сила – это результат взаимодействия тела с окружающей средой. Одно из простейших определений силы: влияние одного тела (или поля), вызывающее ускорение. В настоящее время различают четыре типа сил или взаимодействий:

· гравитационные (проявляются в виде сил всемирного тяготения);

· электромагнитные (существование атомов, молекул и макротел);

· сильные (ответственны за связь частиц в ядрах);

· слабые (ответственны за распад частиц).

1.2.3. Принцип суперпозиции сил: если на материальную точку действует несколько сил , то результирующую силу можно найти по правилу сложения векторов:

.

Масса тела – мера инертности тела. Всякое тело оказывает сопротивление при попытках привести его в движение или изменить модуль или направление его скорости. Это свойство называется инертность.

1.2.5. Импульс (количество движения) – это произведение массы т тела на его скорость υ:

.

1.2.6. Первый закон Ньютона:Всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит её (его) изменить это состояние.

1.2.7. Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки): скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе (рис. 1.11):

или .

Рис. 1.11	Рис. 1.12

 

Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки:

и .

1.2.8. Третий закон Ньютона: силы, с которыми действуют друг на друга два тела, равны по величине и противоположны по направлению (рис. 1.12):

.

1.2.9. Закон сохранения импульса для замкнутой системы: импульс замкнутой системы не изменяется во времени (рис. 1.13):

,

где п – число материальных точек (или тел), входящих в систему.

Рис. 1.13

 

Закон сохранения импульса не является следствие законов Ньютона, а является фундаментальным законом природы, не знающим исключений, и является следствием однородности пространства.

1.2.10. Основное уравнение динамики поступательного движения системы тел:

,

где ускорение центра инерции системы; – общая масса системы из п материальных точек.

1.2.11. Центр масс системы материальных точек (рис. 1.14, 1.15):

.

Закон движения центра масс: центр масс системы двигается, как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная векторной сумме всех сил, действующих на систему.

1.2.12. Импульс системы тел:

,

где скорость центра инерции системы.

Рис. 1.14	Рис. 1.15

1.2.13. Теорема о движении центра масс: если система находится во внешнем стационарном однородном поле сил, то никакими действия ми внутри системы невозможно изменить движение центра масс системы:

.

1.3. Силы в механике

1.3.1. Связь веса тела с силой тяжести и реакцией опоры :

,

ускорение свободного падения (рис. 1.16).

 

Рис. 1.16

 

Невесомость – состояние, при котором вес тела равен нулю. В гравитационном поле невесомость возникает при движении тела только под действием силы тяжести. Если a = g, то P = 0.

1.3.2. Соотношение между весом, силой тяжести и ускорением:

.

1.3.3. Сила трения скольжения (рис. 1.17):

где – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.

Рис. 1.17

 

1.3.4. Сила трения качения (рис. 1.18):

,

где – коэффициент трения качения; r – радиус катящегося тела.

 

Рис. 1.18

 

1.3.5. Основные соотношения для тела на наклонной плоскости (рис. 1.19).:

· сила трения: ;

· равнодействующая сила: ;

· скатывающая сила: ;

· ускорение:

Рис. 1.19

 

1.3.6. Закон Гука для пружины: удлинение пружины х пропорционально силе упругости или внешней силе:

,

где k – жесткость пружины.

1.3.7. Потенциальная энергия упругой пружины:

.

1.3.8. Работа, совершённая пружиной:

1.3.9. Напряжение – мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий (рис. 1.20):

,

где площадь поперечного сечения стержня, d – его диаметр, – первоначальная длина стержня, – приращение длины стержня.

 

Рис. 1.20	Рис. 1.21

1.3.10. Диаграмма деформации – график зависимости нормального напряжения σ = F / S от относительного удлинения ε = Δ l / l при растяжении тела (рис. 1.21).

1.3.11. Модуль Юнга – величина, характеризующая упругие свойства материала стержня:

.

1.3.12. Приращение длины стержня пропорционально напряжению:

.

1.3.13. Относительное продольное растяжение (сжатие):

.

1.3.14. Относительное поперечное растяжение (сжатие):

,

где начальный поперечный размер стержня.

1.3.15. Коэффициент Пуассона – отношение относительного поперечного растяжения стержня к относительному продольному растяжению :

.

1.3.16. Закон Гука для стержня: относительное приращение длины стержня прямо пропорционально напряжению и обратно пропорционально модулю Юнга:

.

1.3.17. Объемная плотность потенциальной энергии:

.

1.3.18. Относительный сдвиг ( рис1.22, 1.23 ):

,

где абсолютный сдвиг.

 

Рис. 1.22	Рис.1.23

 

1.3.19. Модуль сдвига G – величина, зависящая от свойств материала и равная такому тангенциальному напряжению, при котором (если бы столь огромные упругие силы были возможны).

.

1.3.20. Тангенциальное упругое напряжение:

1.3.21. Закон Гука для сдвига:

или .

1.3.22. Удельная потенциальная энергия тела при сдвиге:

.

1.4. Неинерциальные системы отсчета

Неинерциальная система отсчёта – произвольная система отсчёта, не являющаяся инерциальной. Примеры неинерциальных систем: система, движущаяся прямолинейно с постоянным ускорением, а также вращающаяся система.

Силы инерции обусловлены не взаимодействием тел, а свойствами самих неинерциальных систем отсчета. На силы инерции законы Ньютона не распространяются. Силы инерции неинвариантны относительно перехода из одной системы отсчета в другую.

В неинерциальной системе также можно воспользоваться законами Ньютона, если ввести силы инерции. Они фиктивны. Их вводят специально, чтобы воспользоваться уравнениями Ньютона.

1.4.1. Уравнение Ньютона для неинерциальной системыотсчета

,

где – ускорение тела массы т относительно неинерциальной системы; – сила инерции – фиктивная сила, обусловленная свойствами системы отсчета.

1.4.2. Центростремительная сила – сила инерции второго рода, приложенная к вращающемуся телу и направленная по радиусу к центру вращения (рис. 1.24):

,

где центростремительное ускорение.

1.4.3. Центробежная сила – сила инерции первого рода, приложенная к связи и направленная по радиусу от центра вращения (рис.1.24, 1.25):

,

где центробежное ускорение.

Рис. 1.24	Рис. 1.25

 

1.4.4. Зависимость ускорения свободного падения g от широты местности приведена на рис. 1.25.

Сила тяжести есть результат сложения двух сил: и ; таким образом, g (а значит и mg) зависит от широты местности:

,

где ω– угловая скорость вращения Земли.

1.4.5. Сила Кориолиса – одна из сил инерции, существующая в неинерциальной системе отсчёта из-за вращения и законов инерции, проявляющаяся при движении в направлении под углом к оси вращения (рис. 1.26, 1.27).

,

где угловая скорость вращения.

Рис. 1.26	Рис. 1.27

1.4.6. Уравнение Ньютона для неинерциальных систем отсчета с учетом всех сил примет вид

где – сила инерции, обусловленная поступательным движением неинерциальной системы отсчета; и – две силы инерции, обусловленные вращательным движением системы отсчета; – ускорение тела относительно неинерциальной системы отсчета.

1.5. Энергия. Работа. Мощность.
Законы сохранения

1.5.1. Энергия – универсальная мера различных форм движения и взаимодействия всех видов материи.

1.5.2. Кинетическая энергия – функция состояния системы, определяемая только скоростью её движения:

Кинетическая энергия тела – скалярная физическая величина, равная половине произведения массы m тела на квадрат его скорости.

1.5.3. Теорема об изменении кинетической энергии. Работа равнодействующих сил, приложенная к телу, равна изменению кинетической энергии тела, или, другими словами, изменение кинетической энергии тела равно работе A всех сил, действующих на тело.

1.5.4. Связь кинетической энергии с импульсом:

.

1.5.5. Работа силы – количественная характеристика процесса обмена энергией между взаимодействующими телами. Работа в механике .

1.5.6. Работа постоянной силы:

Если тело двигается прямолинейно и на него воздействует постоянная сила F, которая составляет некоторый угол α с направлением перемещения (рис. 1.28), то работа этой силы определяется по формуле:

,

где F – модуль силы, ∆r – модуль перемещения точки приложения силы, – угол между направлением силы и перемещения.

Если < /2, то работа силы положительна. Если > /2, то работа силы отрицательна. При = /2 (сила направлена перпендикулярно перемещению), то работа силы равна нулю.

 

Рис. 1.28	Рис. 1.29

 

Работа постоянной силы F при перемещении вдоль оси x на расстояние (рис. 1.29) равна проекции силы на эту ось умноженной на перемещение :

.

На рис. 1.27 показан случай, когда A < 0, т.к. > /2 – тупой угол.

1.5.7. Элементарной работой d A силы F на элементарном перемещении d r называется скалярная физическая величина, равная скалярному произведению силы на перемещение:

1.5.8. Работа переменной силы на участке траектории 1 – 2 (рис. 1.30):

.

Рис. 1.30

 

1.5.9. Мгновенная мощность равна работе, совершаемой в единицу времени:

.

.

1.5.10. Средняя мощность за промежуток времени :

1.5.11. Потенциальная энергия тела в данной точке – скалярная физическая величина, равная работе, совершаемой потенциальной силой при перемещении тела из этой точки в другую, принятую за нуль отсчета потенциальной энергии.

Потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела или производная потенциальной энергии по координатам.

Поэтому потенциальную энергию в каком-то определенном положении считают равной нулю, а энергию тела отсчитывают относительно этого положения (нулевого уровня отсчета).

1.5.12. Принцип минимума потенциальной энергии. Любая замкнутая система стремится перейти в такое состояние, в котором ее потенциальная энергия минимальна.

1.5.13. Работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии

.

1.5.14. Теорема о циркуляции вектора : если циркуляция какого-либо вектора силы равна нулю, то эта сила консервативна.

Работа консервативных сил вдоль замкнутого контура L равна нулю (рис. 1.31):

.

Рис. 1.31

 

1.5.15. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия между массами m и M (рис. 1.32):

.

1.5.16. Потенциальная энергия сжатой пружины (рис. 1.33):

.

Рис. 1.32	Рис. 1.33

 

1.5.17. Полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциально энергий:

Е = Е _к + Е _п.

1.5.18. Потенциальная энергия тела на высоте h над землей

Е _п = mgh.

1.5.19. Связь между потенциальной энергией и силой:

или или

1.5.20. Закон сохранения механической энергии (для замкнутой системы): полная механическая энергия консервативной системы материальных точек остается постоянной:

.

1.5.21. Закон сохранения импульса для замкнутой системы тел:

1.5.22. Закон сохранения механической энергии и импульса при абсолютно упругом центральном ударе (рис. 1.34):

где m ₁ и m ₂ – массы тел; и – скорости тел до удара.

 

Рис. 1.34	Рис. 1.35

 

1.5.23. Скорости тел после абсолютно упругого удара (рис. 1.35):

.

1.5.24. Скорость движения тел после абсолютно неупругого центрального удара (рис. 1.36):

1.5.25. Закон сохранения импульса при движении ракеты (рис.1.37):

,

где и – масса и скорость ракеты; и масса и скорость выбрасываемых газов.

 

Рис. 1.36	Рис. 1.37

 

1.5.26. Уравнение Мещерского для ракеты:

.

1.5.27. Формула Циолковского для определения скорости ракеты (характеристическая скорость):

,

где М ₀ и М – начальная и конечная массы ракеты.

1.6. Динамика вращательного движения
твердого тела

Любое движение твердого тела сводится к поступательному (рис.1.38) и вращательному (рис.1.39). Это означает, что произвольное движение можно представить в виде суперпозиции поступательного движения тела, характеризуемого движением любой его точки (центра масс), и вращения тела вокруг этой точки, т.е. вокруг осей проходящих через неё.

Рис. 1.38	Рис. 1.39

 

1.6.1. Момент силы относительно неподвижной точки (рис.1.40):

или .

где r – радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку прило­жения силы ; l – плечо силы F.

Рис. 1.40

 

1.6.2. Момент импульса относительно неподвижной точки (рис.1.41):

,

где импульс тела.

Рис. 1.41

1.6.3. Основной закон динамики вращательного движения относительно точки (уравнение моментов):

.

1.6.4. Момент инерции точки, находящейся на расстоянии от оси вращения:

.

Момент инерции тела, состоящего из N точек:

1.6.5. Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения (рис. 1.42, 1.43):

,

где – угловая скорость вращения тела.

Рис. 1.42	Рис. 1. 43

1.6.6. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела:

.

1.6.7. Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени:

или .

1.6.8. Гироскоп – быстро вращающееся тело, имеющее три степени свободы (рис. 1.44).

 

Рис. 1.44

 

Гироскоп (или волчок) – массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии (рис. 1.44). Эту ось будем называть осью гироскопа. Она может изменять свое положение в пространстве (свободная ось). (Без вращения волчок падает, а когда вращается, то нет; здесь выполняется закон сохранения момента импульса: ). Используется гироскоп в различных навигационных устройствах кораблей, самолетов, ракет (гирокомпас, гирогоризонт).

1.6.9. Момент инерции системы (тела):

,

где R – расстояние материальной точки массой до оси вращения.

Для сплошного однородного тела:

,

где ρ – плотность тела; V – объем тела.

1.6.10. Моменты инерции тел правильной геометрической формы (рис. 1.45):

 

Шар ; Сфера	Диск ;   Обруч	Стержень ;
	Рис. 1.45

 

1.6.11. Теорема Штейнера: момент инерции тела I относительно любой оси вращения равен моменту его инерции I _с относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 1.46):

 

Рис. 1.46	Рис. 1.47

 

.

1.6.12. Кинетическая энергия тела, вращающегося с угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси z:

1.6.13. Полная кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

.

 

1.6.14. Закон сохранения энергии для тела катящегося с высоты h (рис. 1.47):