Основные формулы
Гармонические колебания происходят по закону:
x = A cos(ω t + φ0),
где x – смещение частицы от положения равновесия, А – амплитуда колебаний, ω – круговая частота, φ0 – начальная фаза, t – время.
Период колебаний T = 
.
Скорость колеблющейся частицы:
υ = 
= – A ω sin (ω t + φ0),
ускорение a = 
= – A ω2 cos (ω t + φ0).
Кинетическая энергия частицы, совершающей колебательное движение: E k = 
= 
sin2(ω t + φ0).
Потенциальная энергия:
E n = cos2(ω t + φ0).
Периоды колебаний маятников
– пружинного T = 
,
где m – масса груза, k – коэффициент жесткости пружины,
– математического T = 
,
где l – длина подвеса, g – ускорение свободного падения,
– физического T = 
,
где I – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, m – масса маятника, l – расстояние от точки подвеса до центра масс.
Приведенная длина физического маятника находится из условия: l np = 
,
обозначения те же, что для физического маятника.
При сложении двух гармонических колебаний одной частоты и одного направления получается гармоническое колебание той же частоты с амплитудой:
A = A 12 + A 22 + 2 A 1 A 2 cos(φ2 – φ1)
и начальной фазой: φ = arctg 
.
где А 1, A 2 – амплитуды, φ1, φ2 – начальные фазы складываемых колебаний.
Траектория результирующего движения при сложении взаимноперпендикулярных колебаний одной частоты:
+ 
– 
cos (φ2 – φ1) = sin2 (φ2 – φ1).
Затухающие колебания происходят по закону:
x = A 0 e - β t cos(ω t + φ0),
где β – коэффициент затухания, смысл остальных параметров тот же, что для гармонических колебаний, А 0 – начальная амплитуда. В момент времени t амплитуда колебаний:
A = A 0 e - β t .
Логарифмическим декрементом затухания называют:
λ = ln 
= β T,
где Т – период колебания: T = .
Добротностью колебательной системы называют:
D = 
.
Уравнение плоской бегущей волны имеет вид:
y = y 0 cos ω(t ± 
),
где у – смещение колеблющейся величины от положения равновесия, у 0 – амплитуда, ω – круговая частота, t – время, х – координата, вдоль которой распространяется волна, υ – скорость распространения волны.
Знак «+» соответствует волне, распространяющейся против оси X, знак «–» соответствует волне, распространяющейся по оси Х.
Длиной волны называют ее пространственный период:
λ = υT,
где υ –скорость распространения волны, T –период распространяющихся колебаний.
Уравнение волны можно записать:
y = y 0 cos 2π (
+ 
).
Стоячая волна описывается уравнением:
y = (2 y 0 cos 
) cos ω t.
В скобки заключена амплитуда стоячей волны. Точки с максимальной амплитудой называются пучностями,
x п = n 
,
точки с нулевой амплитудой – узлами,
x у = (n + 
) .
Примеры решения задач
Задача 20
Амплитуда гармонических колебаний равна 50 мм, период 4 с и начальная фаза 
. а) Записать уравнение этого колебания; б) найти смещения колеблющейся точки от положения равновесия при t =0 и при t = 1,5 с; в) начертить график этого движения.
Решение
Уравнение колебания записывается в виде x = a cos(w t + j0).
По условию известен период колебаний. Через него можно выразить круговую частоту w = 
. Остальные параметры известны:
а) x = 0,05 cos(
t + ).
б) Смещение x при t = 0.
x 1 = 0,05 cos = 0,05 
= 0,0355 м.
При t = 1,5 c
x 2 = 0,05 cos( 1,5 + )= 0,05 cos p= – 0,05 м.
в) график функции x =0,05cos ( t + ) выглядит следующим образом:
Определим положение нескольких точек. Известны х 1(0) и х 2(1,5), а также период колебаний. Значит, через D t = 4 c значение х повторяется, а через D t = 2 c меняет знак. Между максимумом и минимумом посередине – 0.
Задача 21
Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний 2 с, амплитуда 50 мм, начальная фаза равна нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда ее смещение от положения равновесия равно 25 мм.
Решение
1 способ. Записываем уравнение колебания точки:
x = 0,05 cos p t,т. к. w = 
= p.
Находим скорость в момент времени t:
υ = 
= – 0,05cos p t.
Находим момент времени, когда смещение равно 0,025 м:
0,025 = 0,05 cos p t 1,
отсюда cos p t 1 = , p t 1 = 
. Подставляем это значение в выражение для скорости:
υ = – 0,05 p sin = – 0,05 p 
= 0,136 м/c.
2 способ. Полная энергия колебательного движения:
E = 
,
где а – амплитуда, w – круговая частота, m –масса частицы.
В каждый момент времени она складывается из потенциальной и кинетической энергии точки
E k = , E п = 
, но k = m w2, значит, E п = 
.
Запишем закон сохранения энергии:
= + ,
отсюда получаем: a 2w2 = υ 2 + w2 x 2,
υ = w 
= p 
= 0,136 м/c.
Задача 22
Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = 2 см, полная энергия Е = 3∙10-7 Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 2,25∙10-5 Н?
Решение
Полная энергия точки, совершающей гармонические колебания, равна: E = 
. (13)
Модуль упругой силы выражается через смещение точек от положения равновесия x следующим образом:
F = k x (14)
В формулу (13) входят масса m и круговая частота w, а в (14) – коэффициент жесткости k. Но круговая частота связана с m и k:
w2 = 
,
отсюда k = m w2 и F = m w2 x. Выразив m w2 из соотношения (13) получим: m w2 = 
, F = x.
Откуда и получаем выражение для смещения x: x = 
.
Подстановка числовых значений дает:
x = 
= 1,5∙10-2 м = 1,5 см.
Задача 23
Точка участвует в двух колебаниях с одинаковыми периодами и начальными фазами. Амплитуды колебаний А 1 = 3 см и А2 = 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если: 1) колебания происходят в одном направлении; 2) колебания взаимно перпендикулярны.
Решение
1) Если колебания происходят в одном направлении, то амплитуда результирующего колебания определится как:
A = 
,
где А 1 и А 2 – амплитуды складываемых колебаний, j1 и j2–начальные фазы. По условию начальные фазы одинаковы, значит j2 – j1 = 0, а cos 0 = 1.
Следовательно:
A = 
= 
= А 1+ А 2 = 7 см.
2) Если колебания взаимно перпендикулярны, то уравнение результирующего движения будет:
cos(j 2 – j 1) = sin2(j 2 – j 1).
Так как по условию j2 – j1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, то уравнение запишется в виде: =0,
или 
=0,
или 
.
 |
Полученное соотношение между x и у можно изобразить на графике. Из графика видно, что результирующим будет колебание точки на прямой MN. Амплитуда этого колебания определится как: A = 
= 5 см.
Задача 24
Период затухающих колебаний Т =4 с, логарифмический декремент затухания l = 1,6, начальная фаза равна нулю. Смещение точки при t = 
равно 4,5 см. 1) Написать уравнение этого колебания; 2) Построить график этого движения для двух периодов.
Решение
1) Уравнение затухающих колебаний с нулевой начальной фазой имеет вид:
x = A 0 e -b t cos2p .
Для подстановки числовых значений не хватает величин начальной амплитуды А 0 и коэффициента затухания b.
Коэффициент затухания можно определить из соотношения для логарифмического декремента затухания:
l = b Т.
Таким образом b = 
= 
= 0,4 с-1.
Начальную амплитуду можно определить, подставив второе условие:
4,5 см = A 0 
cos 2p 
= A 0 
cos = A 0 
.
Отсюда находим:
A 0 = 4,5∙ 
(см) = 7,75 см.
Окончательно уравнение движения:
x = 0,0775 
cos t.
2) Для построения графика сначала рисуем огибающую x = 0,0775 , а затем колебательную часть.
 |
Задача 25
Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника, если за t = 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в два раза? Длина маятника l = 1 м.
Решение
Логарифмический декремент затухания можно найти из соотношения: l= b Т,
где b – коэффициент затухания, Т – период колебаний. Собственная круговая частота математического маятника:
w0 = 
= 3,13 с-1.
Коэффициент затухания колебаний можно определить из условия: A 0 = A 0 e -b t,
b t = ln2 = 0,693,
b = 
= 0,0116 c-1.
Поскольку b << w0, то в формуле w = 
можно пренебречь b по сравнению с w0 и период колебаний определить по формуле: T = 
= 2 c.
Подставляем b и Т в выражение для логарифмического декремента затухания и получаем:
l = b T = 0,0116 с-1 ∙ 2 с = 0,0232.
Задача 26
Уравнение незатухающих колебаний дано в виде x = 4 sin600 p t см.
Найти смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии l = 75 см от источника колебаний, через t = 0,01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний υ = 300 м/с.
Решение
Запишем уравнение волны, распространяющейся от данного источника: x = 0,04 sin 600 p(t – 
).
Находим фазу волны в данный момент времени в данном месте:
t – = 0,01 – 
= 0,0075,
600p ∙ 0,0075 = 4,5p,
sin 4,5p = sin = 1.
Следовательно, смещение точки x = 0,04 м, т.е. на расстоянии l =75 см от источника в момент времени t = 0,01 c смещение точки максимально.
Список литературы
1. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. – СПб.: СпецЛит, 2001.
2. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. – М.: Наука, 1998.
