Связь законов сохранения с пространственно-временными преобразованиями

Симметрия (греч. Συμμετρια – соразмерность) – неизменность структуры, свойств или формы материального объекта относительно его преобразований

«Симметричным называется такой предмет, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали»

Р.Фейнман

Основные формы геометрической симметрии:

1. Зеркальная симметрия – имеет плоскость, линию или временной раздел двух совершенно одинаковых относительно друг друга частей одного целого.

Пример: бабочка.

2. Поворотная симметрия – имеет центр, относительно которого происходит многократный поворот одного и того же структурного фрагмента. Различаются по углу поворота (или порядку поворота n).

Пример: снежинка, n=6.

3. Трансляционная симметрия – многократное повторение одного и того же фрагмента структуры в пространстве или во времени.

Пример: орнамент, кристаллическая решётка.

Обсудить проявления симметрии в природе, сравнить понятия красоты и симметрии.

Свойства симметрии пространства и времени

Однородность пространства – отсутствие избранных точек, или одинаковость свойств пространства во всех точках

Изотропность пространства – отсутствие избранных направлений или одинаковость свойств пространства по всем направлениям

Однородность времени – равнозначность всех моментов времени, отсутствие избранных

Теорема Нётер

Эмми Нётер (1882-1935) – «самая крупная женщина-математик, когда-либо существовавшая» (Академик П.С.Александров)

Родилась в семье математика Макса Нётера в Эрлангене, где была старшей из 4 детей. Первоначально изучала языки, планируя стать преподавателем английского и французского. С этой целью добилась разрешения посещать лекции в Эрлангенском университете, где работал её отец, вначале вольнослушательницей, а когда разрешили женское обучение, зачислена официально. Однако в университете лекции по математике привлекали Эмми больше, чем любые другие. Она стала ученицей математика Пауля Гордана, под руководством которого защитила в 1907 году диссертацию по теории инвариантов.

Уже в 1915 году Нётер внесла вклад в разработку Общей теории относительности; В 1916 году Нётер переехала в Гёттинген, где знаменитые математики Давид Гильберт и Феликс Клейн продолжали работы по теории относительности, и знания Нётер в области теории инвариантов были им нужны. Гильберт оказал на Нётер огромное влияние. Он пытался сделать Нётер приват-доцентом Гёттингенского университета, но все его попытки провалились из-за предрассудков профессуры, в основном гуманитариев. Стала известна фраза Гильберта:

«Не понимаю, почему пол кандидата служит доводом против избрания её приват-доцентом. Ведь здесь университет, а не мужская баня!»

Нётер тем не менее, не занимая никакой должности, часто читала лекции за Гильберта. Лишь по окончании Первой мировой войны она смогла стать приват-доцентом в 1919 году, затем сверхштатным профессором (1922).

Современники описывают Нётер как не слишком красивую, но на редкость умную, обаятельную и приветливую женщину. Её женственность проявлялась не внешне, а в трогательной заботе об учениках, всегдашней готовности помочь им и коллегам. В числе ее преданных друзей были ученые с мировым именем: Гильберт, Герман Вейль, Эдмунд Ландау, нидерландский математик Л. Брауэр, советские математики П. С. Александров, П. С. Урысон и многие другие.

Нётер придерживалась социал-демократических взглядов. На протяжении 10 лет жизни она сотрудничала с математиками СССР; в 1928—1929 учебном году читала лекции в Московском университете, где она оказала влияние на Л. С. Понтрягина и особенно на П. С. Александрова, до этого часто бывавшего в Гёттингене..

В 1932 году Нётер, совместно со своим учеником Эмилем Артином, получает премию Аккермана-Тёбнера за достижения в математике.

После прихода нацистов к власти в 1933 году Нётер, как еврейке, пришлось эмигрировать в США, где она стала преподавателем женского колледжа в Брин-Море (Пенсильвания) и приглашённым преподавателем Института высших исследований в Принстоне. Младший брат Эмми, одарённый математик Фриц Нётер, уехал в СССР, где был расстрелян в сентябре 1941 года за «антисоветские настроения».

Несмотря на блестящие математические достижения, личная жизнь Нётер не сложилась. Будучи некрасивой женщиной, она так и не вышла замуж. Непризнание, изгнание, одиночество на чужбине, казалось бы, должны были испортить её характер. Тем не менее, она почти всегда выглядела спокойной и доброжелательной. Герман Вейль писал, что даже счастливой. В 1935 году Эмми Нётер умерла после неудачной операции по удалению раковой опухоли. А. Эйнштейн в заметке на её смерть отнёс Нётер к величайшим творческим гениям математики.

Теорема Нётер:

Каждому преобразованию симметрии, характеризуемому одним непрерывно изменяющимся параметром, соответствует величина, которая сохраняется для системы, обладающей этой симметрией

Связь типов симметрии с законами сохранения

Тип симметрии	Суть симметрии	Законы сохраниения
Переносная симметрия (перенос системы отсчёта как целого в пространстве)	Однородность пространства (эквивалентность всех точек пространства)	Закон сохранения импульса (импульс замкнутой системы сохраняется)
Поворотная симметрия (поворот системы отсчёта как целого в пространстве)	Изотропия пространства (эквивалентность всех направлений в пространстве)	Закон сохранения момента импульса (момент импульса замкнутой системы сохраняется)
Сдвиг во времени (изменение начала отсчёта времени)	Однородность времени (физические законы не меняются во времени)	Закон сохранения механической энергии (полная механическая энергия замкнутой системы при отсутствии неконсервативных сил сохраняется)
Переходная симметрия (переход от одной инерциальной системы отсчёта к другой)	Эквивалентность всех инерциальных систем отчёта (физические законы инвариантны во всех инерциальных системах отсчёта)	Законы сохранения выполняются во всех инерциальных системах отсчёта