Рассмотрим суммарный момент импульса системы точек (тела) относительно некоторой точки О.
При переходе к другой точке О1 радиус-векторы точек системы преобразуются 
, поэтому
Суммарный импульс системы равен импульсу центра масс 
.
Поэтому в системе отсчета, где центр масс тела покоится 
, суммарный момент импульса не зависит от точки, относительно которой он вычисляется.
Если рассматривается движение твердого тела, то возможное движение в случае – это вращение вокруг центра масс. В этом смысле момент импульса описывает вращательное движение системы (тела).
Найдем производную от суммарного момента импульса
.
Силы, действующие на точки системы, разделим на внутренние, действующие между точками системы и внешние – со стороны тел, не входящих в систему: 
.
.
Внутренние силы подчинятся третьему закону Ньютона - они лежат на прямых линиях, попарно соединяющих точки, противоположны по направлению и одинаковы по величине
.
Для каждой из таких пар сил можно ввести одинаковое плечо 
, поэтому
.
Окончательно
.
Уравнение динамики вращательного движения системы точек
.
Производная от вектора суммарного момента импульса системы равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему.
Покоординатное равенство
, 
, 
.
Момент импульса твердого тела.
Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью w. Выделим в теле малую частицу массой D mi. Найдем момент импульса этой частицы относительно некоторой точки О на оси вращения. Если радиус-вектор частицы 
, вектор импульса 
, то вектор момента импульса частицы 
приложен к точке О и направлен перпендикулярно к векторам и , т.е. под некоторым углом bi к оси z. Траекторией частицы Dmi является окружность, поэтому вектор импульса направлен по касательной к этой окружности. Следовательно, угол между векторами и равен 900 (как угол между образующей и направляющей конуса). Тогда величина момента импульса частицы 
.
Пусть 
- радиус окружности – траектории частицы. Тогда 
. Рассмотрим проекцию вектора момента импульса на ось z: 
.
Учитывая, что 
, получаем: 
.
Но 
. Тогда
Для всего тела 
.
В это выражение входят параметры движения частиц, которые не зависят от положения точки О. Поэтому величина момента импульса вдоль оси z не зависит от положения точки на оси, для которой она вычисляется. В этом выражении величина
называется моментом инерции твердого тела относительно оси z (единица измерения кг×м2). Для сплошных тел суммирование можно заменить интегралом по массе тела
.
