d)Применим метод простой итерации

х = -cos (x² + 2). Тогда на интервале [0,1] выполняется условие |φ^'(х)| < 0

x x2 + 2     6,00000 -0,96017 -0,9602 2,92193 0,97597 0,97597 2,95252 0,98218 0,98218 2,96468 0,98439 0,98439 2,96902 0,98515 0,98515 2,97052 0,98540 0,9854 2,97101 0,98549 0,98549 2,97119 0,98552 0,98552 2,97125 0,98553 0,98553 2,97127 0,98553

 

Получим х = 0,985.

Задача №2

Порядок выполнения работы:

1. Составить таблицу значений функции f (x) и ее производных в узлах интерполяции.

2. Определить частичный интервал , содержащий точку х *, и соответствующие значения .

3. Вычислить значения в точке х * по формулам:

(1)

4. Найти значение сплайна в точке х *:

. (2)

5. Вычислить значение .

6. Вычислить значения в точке х * по формулам:

(3)

7. Найти значение многочлена Лагранжа в точке х *:

. (4)

8. Сравнить полученные результаты вычислений , , .

9. Найти абсолютную и относительную погрешности приближения сплайном и многочленом Лагранжа.

10. Построить график функции f (x). Указать на графике точное и приближенные значения функции в заданной точке х *.

11. Сделать выводы.

Пример решения задачи №2.

Для функции на интервале [1; 1,3] и узлов интерполяции с шагом h = 0,1 вычислить в точке х * =1,17:

1) значение сплайна S₃(x),

2) значение многочлена Лагранжа L ₃(x),

3) значение функции f (x).

Сравнить полученные результаты вычислений S₃(x *), L ₃(x *) и f (x *). Найти абсолютную и относительную погрешности приближения f (x *) сплайном и многочленом Лагранжа. Построить график функции f (x). Указать на графике точное и приближенное значения функции в заданной точке х *. Вычисления производить с точностью до 0,00001.

Таблица 1 ГРАФИК ФУНКЦИИ

i
		1,1	1,2	1,3
		1,4641	2,0736	2,8561
		5,324	6,912	8,788
= 1,4641 = 2,0736 = 5,324 = 6,912

Таблица 2

0,03	0,0009	0,07	0,0049	0,1	0,01	0,001

 

А(х *)=0,216 В(х *)=0,784 С(х *)=0,0063 D(x *)=-0,0147 1,873883 1,873887

Таблица 3

х *- х 0	х *- х 1	х *- х 2	х *- х 3	х 1- х 0	х 2- х 0	х 3- х 0	х 2- х 1	х 3- х 1	х 3- х 2
0,17	0,07	-0,03	-0,13	0,1	0,2	0,3	0,1	0,2	0,1

 

-0,0455 0,3315 0,7735 -0,0595 1,873841

Погрешности приближения:

Абсолютные Относительные

4,41×10^-6 2,3534×10^-6

4,641×10^-5 2,47667×10^-5

Вывод: Сплайн дает более точное приближение, чем многочлен Лагранжа.

Задача №3

Порядок выполнения работы:

1. Составить таблицу конечных разностей

х	у	D у	D2 у	D3 у	где , , .

2. Вычислить производные и , используя

- Первую интерполяционную формулу Ньютона (для нахождения производных в точках, лежащих в начале таблицы значений ):

, (1)

, где - шаг интерполяции; (2)

- вторую интерполяционную формулу Ньютона (для нахождения производных в точках, лежащих в конце таблицы значений ):

, (3)

, где . (4)

3. Вычислить производные и , используя интерполяционный многочлен Лагранжа для :

. (5)

4. Сравнить значения производных и , полученных по различным интерполяционным формулам. Записать вывод.

5. Построить график функции и касательные к нему в точках и .

Пример решения задачи №3

Используя интерполяционные формулы Ньютона и Лагранжа, вычислить и в точках и для функции , заданной таблицей

x	0,5	0,6	0,7	0,8
y	1,3	1,5	1,2	1,1

 

Таблица 1. h = 0,1

х	у	D у	D2 у	D3 у	По формулам Ньютона: 6,83333 -120 2,33333 90	По формулам Лагранжа: 6,8333   2,3333
0,5	1,3
		0,2
0,6	1,5		-0,5
		-0,3		0,7
0,7	1,2		0,2
		-0,1
0,8	1,1

 

Таблица 2. Построение касательной в точке :

х	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
у		1,3	1,5	1,2	1,1
	0,616667	1,3	1,983333
				0,866667	1,1	1,3333

 

В градусах: В радианах:

81,67435 1,425486

66,80141 1,165905