х = -cos (x2 + 2). Тогда на интервале [0,1] выполняется условие |φ'(х)| < 0
|
Получим х = 0,985.
Задача №2
Порядок выполнения работы:
1. Составить таблицу значений функции f (x) и ее производных в узлах интерполяции.
2. Определить частичный интервал 
, содержащий точку х *, и соответствующие значения 
.
3. Вычислить значения 
в точке х * по формулам:
(1)
4. Найти значение сплайна 
в точке х *:
. (2)
5. Вычислить значение 
.
6. Вычислить значения 
в точке х * по формулам:
(3)
7. Найти значение многочлена Лагранжа 
в точке х *:
. (4)
8. Сравнить полученные результаты вычислений 
, 
, .
9. Найти абсолютную и относительную погрешности приближения сплайном и многочленом Лагранжа.
10. Построить график функции f (x). Указать на графике точное и приближенные значения функции в заданной точке х *.
11. Сделать выводы.
Пример решения задачи №2.
Для функции 
на интервале [1; 1,3] и узлов интерполяции с шагом h = 0,1 вычислить в точке х * =1,17:
1) значение сплайна S3(x),
2) значение многочлена Лагранжа L 3(x),
3) значение функции f (x).
Сравнить полученные результаты вычислений S3(x *), L 3(x *) и f (x *). Найти абсолютную и относительную погрешности приближения f (x *) сплайном и многочленом Лагранжа. Построить график функции f (x). Указать на графике точное и приближенное значения функции в заданной точке х *. Вычисления производить с точностью до 0,00001.
Таблица 1 ГРАФИК ФУНКЦИИ
| i | 
| ||||
| 1,1 | 1,2 | 1,3 | ||
| 1,4641 | 2,0736 | 2,8561 | ||
| 5,324 | 6,912 | 8,788 | ||
= 1,4641  = 2,0736
= 5,324  = 6,912
|
Таблица 2
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 0,03 | 0,0009 | 0,07 | 0,0049 | 0,1 | 0,01 | 0,001 |
А(х *)=0,216 В(х *)=0,784 С(х *)=0,0063 D(x *)=-0,0147 
1,873883 
1,873887
Таблица 3
| х *- х 0 | х *- х 1 | х *- х 2 | х *- х 3 | х 1- х 0 | х 2- х 0 | х 3- х 0 | х 2- х 1 | х 3- х 1 | х 3- х 2 |
| 0,17 | 0,07 | -0,03 | -0,13 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,2 | 0,1 |
-0,0455 
0,3315 
0,7735 
-0,0595 
1,873841
Погрешности приближения:
Абсолютные Относительные
4,41×10-6 
2,3534×10-6
4,641×10-5 
2,47667×10-5
Вывод: Сплайн дает более точное приближение, чем многочлен Лагранжа.
Задача №3
Порядок выполнения работы:
1. Составить таблицу конечных разностей
| х | у | D у | D2 у | D3 у | где  ,  ,  .
|
| 
| ||||
| |||||
| 
| 
| |||
| 
| ||||
| 
| 
| |||
| |||||
| 
|
2. Вычислить производные 
и 
, используя
- Первую интерполяционную формулу Ньютона (для нахождения производных в точках, лежащих в начале таблицы значений 
):
, (1)
, где 
- шаг интерполяции; (2)
- вторую интерполяционную формулу Ньютона (для нахождения производных в точках, лежащих в конце таблицы значений ):
, (3)
, где 
. (4)
3. Вычислить производные и , используя интерполяционный многочлен Лагранжа для 
:
. (5)
4. Сравнить значения производных и , полученных по различным интерполяционным формулам. Записать вывод.
5. Построить график функции 
и касательные к нему в точках 
и 
.
Пример решения задачи №3
Используя интерполяционные формулы Ньютона и Лагранжа, вычислить 
и 
в точках 
и 
для функции 
, заданной таблицей
| x | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 |
| y | 1,3 | 1,5 | 1,2 | 1,1 |
Таблица 1. h = 0,1
| х | у | D у | D2 у | D3 у | По формулам Ньютона:
 6,83333
 -120
 2,33333
 90
| По формулам Лагранжа:
6,8333
2,3333
|
| 0,5 | 1,3 | |||||
| 0,2 | ||||||
| 0,6 | 1,5 | -0,5 | ||||
| -0,3 | 0,7 | |||||
| 0,7 | 1,2 | 0,2 | ||||
| -0,1 | ||||||
| 0,8 | 1,1 |
Таблица 2. Построение касательной в точке : 
| х | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 |
| у | 1,3 | 1,5 | 1,2 | 1,1 | ||
| 0,616667 | 1,3 | 1,983333 | |||
| 0,866667 | 1,1 | 1,3333 |
В градусах: В радианах:
81,67435 1,425486
66,80141 1,165905
