Пример решения задания №1

Задача №1.

Цель работы – найти все корни уравнения f(x) = 0 на отрезке [-10, 10]. Варианты уравнений приведены в табл. 1.1. На первом этапе следует отделить корни. Для этого нужно вычислить значения функции y = f(x) на отрезке [-10,10] с шагом H = 0,5 и зафиксировать отрезки [a_j,b_j] на концах которых функция меняет свой знак. Для каждого варианта нужно построить график функции и таблицу ее значений на отрезке [-10,10] с шагом 0,5. После- отделения корней следует уточнить корни одним из следующих методов с точностью ε = 0,001.

1) половинного деления,

2) хорд,

3) Ньютона,

4) простой итерации.

На каждой итерации в одну строку печатать k, x_k, f (x_k,). Критерием окончания итерационного процесса является выполнение условия: ïf(x_k)ï< ε

Таблица 1.1

вариант	уравнение
	2х4 -8х3+8х2-1 = 0
	х4- 4х3 -8х2+1 = 0
	х2 – sin5x = 0
	argtgx – 1\3x3 = 0
	2x3 – 9x2 – 60x + 1 = 0
	e-x = 0,5 + √|x|
	(x2 – 1) lg(x+11) = 1
	3sin√|x| - 0,35x + 3,8 = 0
	x4 -3sinx = 0
	x – 4sinx = 1

 

Задача №2. Приближение функций интерполяционными многочленами

Задание:1) Для функции , заданной аналитически на интервале [ a; b ], и узлов интерполяции с шагом h вычислить в точке х *: значения сплайна S ₃(x), многочлена Лагранжа L ₃(x) и функции .

2) Сравнить полученные результаты вычислений S ₃(x *), L ₃(x *) и .

3) Найти абсолютную и относительную погрешности приближения сплайном и многочленом Лагранжа.

Вычисления производить с точностью до 0,0001.

Варианты приведены в табл.2.1.

 

Таблица 2.1

№	Функция	Интервал	Шаг h	х*
			0,1	1,23
			0,1	1,12
			0,2	-0,45
			0,1	0,12
			0,2	0,25
			0,1	0,12
				11,5
				2,7
			0,5	0,7
			0,2	0,5

 

Задача №3. Численное дифференцирование

Используя интерполяционные формулы Ньютона и Лагранжа, вычислить и в точках и для функции , заданной таблицей

x
y

Сравнить значения производных и , полученных по разным интерполяционным формулам. Построить график функции и касательные к нему в точках и .

Варианты приведены в таблице 3.1

1.	х	x 0= 2			x 3= 5	2.	x	x 0= 3			x 3= 6
у	0,6931	1,0986	1,3863	1,6094	y	1,0986	1,3863	1,6094	1,7917
3.	x	x 0= 4			x 3= 7	4.	x	x 0= 5			x 3 = 8
y	1,3863	1,6094	1,7917	1,9459	y	1,6094	1,7917	1,9459	2,0794
5.	x	x 0= 6			x 3= 9	6.	x	x 0= 7			x 3= 10
y	1,7917	1,9459	2,0794	2,1972	y	1,9459	2,0794	2,1972	2,3026
7.	x	x 0= 11			x 3= 14	8.	x	x 0=12			x 3 = 15
y	0,3010	0,4771	0,6020	0,6989	y	0,4771	0,6020	0,6989	0,7781
9.	x	x 0= 13			x 3= 16	10.	x	x 0= 14			x 3= 17
y	0,6020	0,6989	0,7781	0,8451	y	0,6989	0,7781	0,8451	0,9031

 

Методические указания и типовые задачи

Пример решения задания №1.

Пусть требуется решить уравнение: x + cos (x² + 2) = 0 с точность Ɛ = 0,001 в среде Microsoft Excel.

Составляем таблицу значений функции на интервале [-10, 10] с шагом Н = 0,5 с целью определения отрезков, на которых функция меняет свой знак.

х	х2 + 2	cos (x2 + 2)	x + cos (x2 +2)
-10		0,1016	-9,8984
-9,5	92,25	-0,4141	-9,9141
-9		0,2495	-8,7505
-8,5	74,25	0,4101	-8,0899
-8		-0,9996	-8,9996
-7,5	58,25	-0,1302	-7,6302
-7		0,7422	-6,2578
-6,5	44,25	0,9644	-5,5356
-6		0,9551	-5,0449
-5,5	32,25	0,6719	-4,8281
-5		-0,2921	-5,2921
-4,5	22,25	-0,9667	-5,4667
-4		0,6603	-3,3397
-3,5	14,25	-0,1126	-3,6126
-3		0,0044	-2,9956
-2,5	8,25	-0,3857	-2,8857
-2		0,9602	-1,0398
-1,5	4,25	-0,4461	-1,9461
-1		-0,9900	-1,9900
-0,5	2,25	-0,6282	-1,1282
		-0,4161	-0,4161
х	х2 + 2	cos (x2 + 2)	x + cos (x2 + 2)
0,5	2,25	-0,6282	-0,1282
		-0,9900	0,0100
1,5	4,25	-0,4461	1,0539
		0,9602	2,9602
2,5	8,25	-0,3857	2,1143
		0,0044	3,0044
3,5	14,25	-0,1126	3,3874
		0,6603	4,6603
4,5	22,25	-0,9667	3,5333
		-0,2921	4,7079
5,5	32,25	0,6719	6,1719
		0,9551	6,9551
6,5	44,25	0,9644	7,4644
		0,7422	7,7422
7,5	58,25	-0,1302	7,3698
		-0,9996	7,0004
8,5	74,25	0,4101	8,9101
		0,2495	9,2495
9,5	92,25	-0,4141	9,0859
		0,1016	10,1016

 

 

Из полученной таблицы следует, что только на интервале [0,5; 1] функция меняет свой знак, т е корень уравнения находится внутри этого интервала.

a) Применим метод половинного деления

 

a	b	f(a)	f(b)	(a+b)/2	f((a+b)/2)
0,5		-0,1282	0,0100	0,75	-0,0870
0,75		-0,0870	0,0100	0,875	-0,0552
0,875		-0,0552	0,0100	0,9375	-0,0282
0,9375		-0,0282	0,0100	0,9688	-0,0107
0,9688		-0,0107	0,0100	0,9844	-0,0008
0,9844		-0,0008	0,0100	0,9922	0,0045
0,9844	0,9922	-0,0008	0,0045	0,9883	0,0019
0,9844	0,9883	-0,0008	0,0019	0,9864	0,0006
0,9844	0,9864	-0,0008	0,0006	0,9854	-0,0001
0,9854	0,9864	-0,0001	0,0006	0,9859	0,0002

Т.к. |0,9854 - 0,9859| < 0, 001, то процесс закончен и х ≈ 0, 985.

 

b) Применим метод хорд. Вычисляем первое приближение к корню по формуле:

 

где а = -10 и b = 10.

1. x = -10 – (-9,8984)* (10 +10) \ (10,1016 + 9,8984) = - 0, 1016. Т.к заданная точность не достигнута (f(x) = -0,5271 по модулю больше, чем 0,001), то продолжаем процесс, вычисляя следующее значение корня х при а = - 0, 1016 и b = 10:

2. x = - 0, 1016 – (-0,5271)* (10+ 0, 1016)\(10,1016 + 0,5271) ≈ 0,39936

f (0,39936) = -0,1559, что недостаточно точно, т к |-0,1559|>0,001

а = 0,39936 и b = 10

3. x = 0,39936 – (-0,1559) * (10 - 0,39936) (10,1016 + 0,1559) ≈ 0,54527

f (0,54527) = -0,1190, |-0,1190| > 0,001

a = 0,54527 и b = 10

4. x = 0,54527 – (-0,1190)* (10 - 0,54527)\ (10,1016 +0,1190) ≈ 0,65533

f (0, 65533) = -0,1016

a = 0,65533 и b = 10

5. x = 0,65533 – (-0,1016) * (10 -0,65533)\(10,1016 + 0,1016) ≈ 0,74838

f(x) = -0,0872

a = 0,74838 и b = 10

6. x = 0,74838 – (-0,0872)*(10 - 0,74838)\(10,1016 +0,0872) ≈ 0,82756

f(x) = -0,0699

a = 0,82756 и b = 10

7. x = 0,82756 – (-0,0699)* (10-0,82756)\(10,1016 +0,0699) ≈ 0,89041

f(x) = - 0,0494

a = 0, 89041 и b = 10

8. x = 0, 89041- (- 0,0494)*(10 - 0, 89041)\ (10,1016 + 0,0494) ≈0,93975

f(0,93975) = -0,0207

a = 0,93975 и b = 10

9. x = 0,93975 – (-0,0207)* (10 - 0,93975) \ (10,1016 + 0,0207) ≈ 0,95829

f (0,95829) = - 0,0169

a= 0,95829 и b = 10

10. x = 0,95829 – (- 0,0169)*(10- 0,0169)\(10,1016 + 0,0169) ≈ 0,97496

f(x) = - 0,0068

a = 0,97496 и b = 10

11. x = 0,97496- (- 0,0068) (10 - 0,97496)\(10,1016 + 0,0068) ≈ 0,98103

f(x) = -0,0030

a = 0,98103 и b = 10

12. x = 0,98103 – (0,0030)* (10 - 0,98103)\ (10,1016 + 0,0030) ≈ 0,98371

f(0,98371) = -0,0012

a = 0,98371 и b = 10

13. x = 0,98371 - (-0,0012)*(10- 0. 98371)\(10,1016+ 0,0012) ≈ 0,98478

f(0,98478) = -0,0005 – заданная точность достигнута: f(x) < 0,001

х ≈ 0, 985

с) Применим метод Ньютона. Найдем начальную точку по формуле:

f^' (x) = 1 – sin(x² +2) * 2x

Тк из ранее полученных результатом, мы знаем в каком отрезке находится корень, для уменьшения вычислений возьмем в качестве х₀ = 2. Получим таблицу:

x	x2 + 2	f(x)= x + cos (x2 + 2)	f' (x) = 1 – sin(x2 +2) * 2x	хi
	6,00000	2,96017	2,11766	0,60215
0,60215	2,36258	-0,10946	0,15389	1,31344
1,31344	3,72512	0,47892	2,44734	1,11775
1,11775	3,24937	0,12355	1,24046	1,01815
1,01815	3,03663	0,02365	0,78666	0,98808
0,98808	2,97630	0,00171	0,67484	0,98555
0,98555	2,97131	0,00001	0,66597	0,98553
0,98553	2,97127	0,00000	0,66590	0,98553

 

Достигнута нужная точность и найден корень уравнения: х = 0.985.