Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Мы приведем два способа решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Первый способ называют методом исключения неизвестной функции. Второй способ основан на использовании собственных чисел и собственных векторов матрицы.

а) Сначала на примере продемонстрируем метод исключения неизвестной функции (и её производной), при этом система сводится к одному уравнению второго порядка с одной неизвестной функцией.

Задача 14. Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений:

Решение. Продифференцируем второе уравнение этой системы:

Составляем новую систему дифференциальных уравнений:

Исключив из последней системы, получим линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами

Соответствующее характеристическое уравнение имеет комплексные корни:

Следовательно, где и

- произвольные постоянные. Из последнего уравнения исходной системы

Итак, общее решение системы:

B) Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

можно и методами линейной алгебры, используя характеристическое уравнение.

Найдем корни характеристического уравнения

или

Мы рассмотрим только случай, когда характеристическое уравнение имеет различные действительные корни и В этом случае каждому корню соответствует некоторый собственный вектор. Так, корню соответствует вектор найденный из системы уравнений

или

а корню соответствует вектор определяемый системой

или

Зная векторы и легко выписывается общее решение системы

Задача 15. Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений:

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение

или

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению

или

Положим для определенности тогда Итак, собственному значению соответствует собственный вектор(1,3). Аналогично для

или

Положим для определенности тогда Итак, собственному значению соответствует собственный вектор (1,-1).

Выписываем теперь общее решение системы:

Окончательно:

Задание для самостоятельной работы

Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений (систему под номером а.) решать методом исключения неизвестной функции; систему под номером b.) решать c помощью характеристического уравнения):

Ответы к заданию:

РЯДЫ

Числовые ряды

Не останавливаясь на основных определениях теории рядов [1. Гл. XI, §1], приведем только их признаки сходимости:

а) интегральный признак Коши сходимости ряда с положительными членами. Если , где - убывающая непрерывная функция, то ряд и интеграл сходятся или расходятся одновременно ( -некоторое число, );

б) признак Даламбера. Пусть (начиная с некоторого члена ряда) и существует предел

Тогда ряд сходится, если , и расходится, если . Если , вопрос о сходимости ряда остается открытым;

в) признак Коши. Пусть (начиная с некоторого члена ряда) и существует предел

Тогда ряд сходится, если , и расходится, если . В случае, когда , вопрос о сходимости ряда остается открытым;

г) первый признак сравнения. Если (начиная с некоторого ), то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда ;

д) второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел

то ряды и сходятся или расходятся одновременно;

е) признак Лейбница. Ряд с чередующимися знаками сходится, если и .

Отметим еще необходимое условие сходимости ряда: Для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы .

Задача 1. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Применим интегральный признак. Ясно, что функция будет непрерывной при и убывающей, при этом .

Рассмотрим интеграл

Так как этот интеграл сходится, то сходится и ряд.

Задача 2. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Применим признак Даламбера. Очевидно, что

, ,

тогда

т.к , то ряд сходится.

Задача 3. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Для решения вопроса о сходимости этого ряда используем признак Коши

т.к. , то ряд сходится.

Задача 4. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. = = =

т.к. , то ряд расходится.

Этот же вывод можно сделать, исследуя общий член этого ряда c помощью правила Лопиталя легко выяснить, что он не стремится к нулю при , т.е. не выполняется необходимое условие сходимости ряда;

Задача 5. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Легко видеть, что для этого ряда , т.е. признак Даламбера не дает ответа на вопрос о его сходимости. Воспользуемся первым признаком сравнения. Так как

и ряд сходится (см. сходимость обобщенного гармонического ряда ), то и наш ряд сходится.

Можно было бы воспользоваться вторым признаком сравнения. Сравним наш ряд с тем же рядом . Так как = =1

то из сходимости ряда следует сходимость нашего ряда;

Задача 6. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Очевидно, что члены этого ряда удовлетворяют всем условиям признака Лейбница. То есть, ряд сходится.

Задача 7. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Общий член этого ряда и, значит, не стремится к нулю. Следовательно, ряд расходится.

Задание для самостоятельной работы

Исследовать сходимость числовых рядов:

a) ; b)

c) d)

Ответы к заданию:

а)	Ряд расходится (использовать необходимый признак сходимости).	b)	Ряд расходится (использовать признак сравнения).
c)	Ряд расходится (использовать интегральный признак сходимости).	d)	Ряд сходится (использовать признак Даламбера).

Функциональные ряды

(См. (1), гл. ХΙ, §§ 2 – 5 и гл. ХΙΙ, §1).

Задача 8. Найти интервал сходимости степенного ряда

Решение. Пусть дан степенной ряд . Число есть радиус сходимости степенного ряда, если при ряд сходится, а при - расходится. Интервалом сходимости называют интервал . Известно, что радиус сходимости степенного ряда вычисляется по формуле

Воспользовавшись этой формулой, вычислим радиус сходимости нашего степенного ряда

Итак, радиус сходимости Следовательно, интервалом сходимости нашего ряда будет

Задание для самостоятельной работы

Найти интервал сходимости степенных рядов:

Ответы к заданию:

Задача 9. Разложить функцию в ряд Фурье в указанных интервалах

Решение. Если функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле в некотором интервале , то в точках непрерывности функции, принадлежащих этому интервалу, справедливо разложение

где

В нашем случае и = 0 при , поэтому

Аналогично

Итак, искомый ряд Фурье можно записать в следующем виде:

Задание для самостоятельной работы

Разложить функцию в ряд Фурье в указанных интервалах

Указание. Функция нечетна, поэтому все а_n=0. Вычислять b_n следует по формуле, приведенной выше.

Задача 10. Вычислить определенный интеграл

с точностью до 0,001.

Для этого подынтегральную функцию следует разложить в ряд, который затем почленно проинтегрировать.

Решение. Разлагая функцию по степеням x, получим:

Так как шестой член меньше 0,001, то ограничимся пятью членами. Ошибка по модулю, согласно теореме Лейбница, не превышает первого из отбрасываемых членов (в нашем случае ряд знакопеременный с убывающими членами). Получаем

Задание для самостоятельной работы

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001. Для этого подынтегральную функцию следует разложить в ряд, который затем почленно проинтегрировать: