Лабораторная [В.М.1] работа № 6.10
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТА ХОЛЛА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Цель работы
1. Изучить теорию эффекта Холла.
2. Исследовать зависимость э.д.с. Холла 
от величины индукции внешнего магнитного поля 
и силы тока 
, протекающего через образец.
3. Определить концентрацию основных носителей заряда 
и их подвижность 
.
Краткая теория
  |
Эффектом Холла называют явление возникновения э.д.с. в помещённом в магнитное поле полупроводнике, по которому протекает электрический ток. Пусть полупроводник имеет форму параллелепипеда длиной
и сечением 
и по нему протекает ток 
перпендикулярно сечению. Полупроводник находится в однородном магнитном поле с индукцией 
, направление которой перпендикулярно направлению тока и указано на рисунке 10.1[В.М.2].
Опыт показывает, что между точками 
и 
,расположенными на нижней и верхней гранях образца, возникает разность потенциалов, названная э.д.с. Холла, которая возрастает с увеличением тока и вектора магнитной индукции : 
. Объясняется возникновение 
смещением движущихся зарядов к верхней или нижней грани образца под действием силы Лоренца. Если основными носителями заряда являются дырки, то силой Лоренца (см. рисунок 10.1) они отклоняются к нижней грани образца, и там накопится положительный заряд, а на верхней останется не скомпенсированный отрицательный заряд. Если основными носителями заряда являются электроны, то они будут также отклоняться и накапливаться на нижней грани, создавая на ней отрицательный заряд. (Вспомните правило левой руки, по которому в данном случае определяем направление силы Лоренца).
Величина силы Лоренца определяется соотношением:
, (1)
где 
- заряд носителя, 
- его дрейфовая скорость. Смещение носителей заряда в поперечном (по отношению и ) направлении прекратится тогда, когда сила Лоренца уравновесится силой 
электрического поля, создаваемого сместившимися зарядами. Если 
, то:
(2)
Дрейфовая скорость может быть выражена из формулы для плотности дрейфового тока:
(3)
Если плотность тока 
одинакова во всех точках сечения , то:
(4)
После подстановки уравнений (4) и (3) в формулу (2) получим:
(5)
Считая возникшее поле однородным, найдем холловское напряжение на контактах АС, используя связь напряженности 
и разности потенциалов 
:
(6)
Величина 
называется постоянной Холла.
Предложенный вывод выражения для нагляден, но недостаточно строг. Не был учтён статистический характер распределения носителей заряда по скоростям. Это значит, что уравнение (2) не может выполняться одновременно для всех электронов (или дырок), имеющих различные по величине и направлению скорости. Поэтому стационарное состояние наступает не тогда, когда сила Лоренца уравновешивает силу электрического поля Холла для каждого электрона, а тогда, когда ток, созданный холловским электрическим полем , компенсирует ток, созданный действием силы Лоренца. Однако результат строгой теории эффекта Холла для униполярных полупроводников на основе 
и 
практически не отличается от полученного нами. В нашей лабораторной работе используется датчик, Холла изготовленный из кремния.
Итак, измеренное значение напряжения Холла и знание условий эксперимента (размеры образца, величина тока 
, вектор магнитной индукции ) дают возможность определить знак и концентрацию носителей заряда в полупроводнике. А параллельное измерение удельной электропроводности 
:
(7)
того же образца позволяет вычислить и подвижность носителей заряда 
:
(8)
Подвижность электрона 
и подвижность дырки 
численно равна скорости, которую приобретает электрон или дырка, в электрическом поле напряженностью равной единице, т.е.:
(9)
Подвижность электрона и дырки является одной из основных характеристик полупроводника, по которой можно судить о степени “загрязнения” материала неконтролируемыми примесями.
Метод определения концентрации и подвижности носителей заряда по холловской э.д.с. и удельной проводимости является классическим методом научного исследования полупроводников.
Описание установки
Лабораторная работа выполняется при комнатной температуре с использованием постоянного тока через образец и магнитного поля электромагнита. Принципиальная схема измерительной установки изображена на рисунке 10.2.
 |
Геометрические размеры образца кремния указаны на стенде. В условиях нашего эксперимента вектор магнитной индукции прямо пропорционален току электромагнита 
: 
. График этой зависимости имеется на рабочем месте и позволяет определять значения 
в теслах по экспериментальным значениям тока 
. На образце имеется две пары электродов. Одна из них служит для подачи напряжения на образец и создания электрического тока , другая - для измерения . Ток в образце измеряется миллиамперметром РА1, расположенным в правой части установки. Холловское напряжение измеряется цифровым вольтметром PV1, расположенным в центральной части установки. Этот же вольтметр используется для измерения падения напряжения 
на образце. Режим работы вольтметра переключается тумблером, расположенным справа от вольтметра. Изменение индукции магнитного поля, в котором находится образец, производится регулированием тока через электромагнит, измеряемого амперметром РА2, расположенном в левой части установки.
Объем экспериментальной работы задается преподавателем каждому студенту.
Выполнение работы
Задание 1. Изучение зависимость от величины индукции внешнего магнитного поля
Подготовьте таблицу для записи результатов измерений падения напряжения на образце, тока через образец, тока через электромагнит, вектора магнитной индукции и холловского напряжения . Ток через образец установите в пределах от 3 до 10 мА и не изменяйте в этой серии опытов. Измерьте при разных токах . Ток магнита измените не менее 10 раз, повторите измерения .Для каждого тока магнита найдите индукцию магнитного поля. По результатам постройте график 
. Сравните результат с теорией.
Задание 2. Изучение зависимости холловского напряжения от величины тока, протекающего через образец
Подготовьте таблицу для записи результатов измерения напряжения и тока через образец, тока через электромагнит, магнитной индукции и величины . Установите величину тока через электромагнит в пределах от 0,6 А до 2 А и не изменяйте её в течение этой серии экспериментов. Изменяя ток через образец 10 раз, измерьте холловское напряжение при каждом значении тока и продольное напряжение . Данные занесите в таблицу и по ним постройте график 
. Сравните результат с теоретической зависимостью.
Задание 3. Определение концентрации основных носителей заряда в полупроводнике
Подготовьте таблицу для вычисленных 10 значений постоянной Холла 
и концентрации “ 
”. (Таблицу рекомендуется расположить горизонтально). Вычислите не менее 10 раз постоянную Холла 
по формуле:
, (10)
используя данные экспериментов задания 1 или 2 (напоминаем, что - ток через образец). После этого 10 раз определите концентрацию носителей заряда 
:
(11)
Найдите среднее значение 
и концентрации носителей заряда 
. Вычислите абсолютную погрешность 
по формуле:
, (12)
где 
- количество опытов в данной серии измерений.
Задание 4.Определение подвижности электронов в кремнии при комнатной температуре
Для вычисления подвижности основных свободных носителей 
нужно знать постоянную Холла 
и удельную проводимость :
(13)
Используйте среднее значение , полученное в задании 3, а удельную проводимость определите следующим образом:
, (14)
где 
- удельное сопротивление кремния. Выразим через его размеры и величину сопротивления 
:
(15)
Сопротивление образца определяется по закону Ома:
, (16)
где - напряжение на образце, - ток через образец, измеренные в тех случаях, для которых расcчитывалась постоянная Холла (Задание 3).
Площадь поперечного сечения:
(17)
После подстановки формул (15), (16), (17) в формулу (14), получим:
(18)
Подвижность электронов можно вычислить так:
(19)
Все вычисления проводите в системе СИ.
Контрольные вопросы
1. Какое явление называется эффектом Холла?
2. Почему разные знаки имеет холловское напряжение в материалах и 
типов проводимости?
3. Сделайте вывод формулы для . В чем неточность этого вывода?
4. Какой формы должен быть теоретический график 
?
5. Какой формы должен быть график ?
6. Что называется подвижностью электронов и дырок?
7. Как изменится (увеличится или уменьшится) концентрация носителей заряда с увеличением температуры? Почему?
Задачи к лабораторной работе
1.1 Перпендикулярно магнитному полю с индукцией В=0,1 Тл возбуждено электрическое поле, напряженность которого равна 100 кВ/м. Определите величину и направление скорости движения протона, если известно, что в таких полях он движется прямолинейно.
1.2 Пластинка из полупроводника шириной b=2мм помещена в магнитное поле. Вектор магнитной индукции поля перпендикулярен одной из плоскостей пластинки. По пластинке пропускают электрический ток силой 0,1 А. При этом возникает поперечная разность потенциалов равная 3,25·10-3В. Определите подвижность носителей тока в полупроводнике. Удельное сопротивление полупроводника 10-4Ом·м, индукция поля 1 Тл.
1.3 Покажите, что холловскую э.д.с. можно представить в виде: 
, где 
- дрейфовая скорость носителей тока в проводнике шириной 
, - магнитная индукция поля.
2.1 Заряженная частица, двигаясь перпендикулярно скрещенным под прямым углом электрическому и магнитному полям, не испытывает отклонения от прямолинейной траектории. Найдите удельный заряд частицы, если напряженность электрического поля равна 400 кВ/м, вектор магнитной индукции равен 0,46 Тл. Частица прошла ускоряющую разность потенциалов 10 В.
2.2 Пластина из однородного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью 
движется с постоянной скоростью 
в однородном магнитном поле, 
индукция которого . Определите вектор поляризации 
и поверхностную плотность связанных зарядов 
.
2.3 Удельное сопротивление арсенида индия 2,5·10-3 Ом·м, постоянная Холла 10-2 м3/кл. Полагая, что электропроводность осуществляется зарядами одного знака, определите их концентрацию и подвижность.
3.1 Определите постоянную Холла для серебра по его плотности и атомной массе. Серебро одновалентное.
3.2 Пластинка с размерами, указанными на рисунке, включена в электрическую цепь. При продольной разности потенциалов 
по пластинке течёт ток . Если, не выключая тока, создать перпендикулярно пластинке магнитное поле с индукцией , то между нижним и верхним основаниями возникнет холловская разность потенциалов . Найдите концентрацию зарядов, их подвижность, постоянную Холла, если: 
3.3 Определите величину холловской разности потенциалов, при которой сила Лоренца, действующая на носители тока, равна 
Высота пластинки равна 3,1 мм.
4.1 Пластинка высотой 20 мм и шириной 1 мм расположена перпендикулярно магнитному полю с индукцией 2 Тл. По пластинке течет ток силой 5А. Вследствие эффекта Холла внутри пластинки возникает однородное электрическое поле напряженностью 
. Определите величину и направление этого поля, если концентрация электронов проводимости равна 
Определите отношение к напряженности поля 
, обуславливающего ток в пластинке. Удельная электропроводность 
.
4.2 Во сколько раз постоянная Холла для серебра больше постоянной Холла для меди? 
Атомные массы 
соответственно.
4.3 Через поперечное сечение полупроводника шириной 1 мм и высотой 10 мм течет ток силой 2,1 А. Если полупроводник поместить в магнитное поле, возникает поперечная разность потенциалов равная 
Определите величину и направление силы Лоренца, действующей на носители тока. Индукция поля равна 0,8 Тл.
5.1 Пластинка движется со скоростью 
в однородном магнитном поле с индукцией 70 мТл. Найдите поверхностную плотность зарядов, возникающих на пластине вследствие её движения.
5.2 Определите подвижность зарядов в полупроводнике, если отношение холловской разности потенциалов к продольной разности потенциалов, вызывающей ток в полупроводниковой пластинке, равно 0,03. Магнитная индукция поля 1,5 Тл; длина пластинки в три раза больше её высоты.
5.3 Определите постоянную Холла для меди по её плотности и атомной массе. 
атомная масса 
.
6.1 Определите постоянную Холла для полупроводника, удельное сопротивление которого равно 
, подвижность носителей тока 
. Электропроводность определяется зарядами одного типа.
6.2 Через сечение алюминиевой пластинки 
(a – ширина, b – высота) пропускают ток силой 5А. Пластинка помещена в магнитное поле перпендикулярное ребру b и направлению тока. Определите холловскую разность потенциалов, если индукция поля 0,5 Тл, ширина пластинки 0,1 мм. Концентрацию электронов проводимости считать равной концентрации атомов. 
, атомная масса 
.
6.3 Определите скорость крови в артериях (кровь содержит ионы, создающие электрический ток) диаметром 3,3 мм, если магнитная индукция поля 
, холловская разность потенциалов равна 0,1 мВ. 
Литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Том 2. М., "Наука", 1979, § 79.
[В.М.1]Отработано 30.6.2000 г.
[В.М.2]Рис.10.1
