Лабораторная работа №4
Корреляционно-регрессионный анализ.
Оценки параметров корреляционного анализа
Основная задача двумерного корреляционного анализа признаков (Х, Y) состоит в оценке пяти параметров:
- оценка среднего значения величины Х,
- оценка среднего значения величины Y,
- оценка среднего значения величины Х2,
- оценка среднего значения величины Y2,
- оценка среднего значения произведения величин Х и Y.
Откуда:
- оценка дисперсии величины Х,
- оценка дисперсии величины Y,
- оценка для парного коэффициента корреляции.
Парный коэффициент корреляции служит мерой линейной статистической зависимости между величинами и является одним из основных показателей взаимосвязи между ними, принимающий значения от -1 до 1.
Имея эти показатели, можно получить уравнения линий регрессии, показывающих изменение условных математических ожиданий в зависимости от изменения соответствующих значений случайных переменных:
уравнение регрессии Y на X: 
уравнение регрессии X на Y: 
И тогда оценка коэффициентов уравнения регрессии
В двумерном случае для наглядности наносят на график точки (
) - корреляционное поле; строят эмпирическую регрессию – ломанную, соединяющую точки (
), где 
- средне арифметическое наблюденных значений Y; оценки функции регрессии 
(рисунок 4.1)
Рисунок 4.1
Проверка значимости и интервальные оценки параметров связи
Проверка значимости парного коэффициента корреляции.
С этой целью проверки гипотезы о значимости коэффициента корреляции выдвигают нулевую гипотезу Н0: 
, при альтернативной гипотезе Н1: 
. Для ее проверки используют статистику
(1)
Критическое значение t находят по таблицам распределения Стьюдента с 
степенями свободы и уровнем значимости α. Затем сравнивают наблюдаемое и критические значения. Если t> tкр, то гипотеза о незначимости коэффициента корреляции отвергается.
Интервальные оценки находят для значимых параметров связи:. При определении с надежностью γ доверительного интервала для ρ используют Z – преобразование Фишера:
(2)
tγ вычисляют по таблице нормального распределения с заданным γ.
Значение Zr определяют по таблице Z – преобразования по найденному значению r.
Обратный переход от Z кρ осуществляют также по таблицам Z – преобразования Фишера, после чего получают интервальную оценку для ρ:
. (3)
Значимость коэффициентов регрессии проверяют с использованием статистики:
, (4)
где
(5)
которая при справедливости гипотезы 
распределена по закону Фишера – Снедекора с заданным уровнем значимости a и числом степеней свободы n 1= n 2= n -1
Интервальная оценка для коэффициентов регрессии имеет вид:
(6)
Аналогично для коэффициента β XY:
(7)
