Лабораторная работа N 6
Определение момента инерции цилиндра
И коэффициента трения качения
Цель работы
Экспериментальное определение момента инерции цилиндра и шара, сравнения момента инерции, полученных экспериментально и теоретически.
Теория вопроса
А. Момент инерции материальной точки определяется произведением ее массы на квадрат радиуса вращения:
J i= mi ri2 (1)
У реального тела разные точки находятся на различном расстоянии от оси вращения, поэтому все моменты инерции материальных точек суммируются:
или
, (2)
где dm – масса бесконечно малого элемента твердого тела.
Т. к. m = rV, где r — плотность вещества, V — объем тела, то d m = r×dV, где dV — объем элемента тела.
Тогда формула (2) примет вид:
(3)
Рис. 1
В качестве примера рассмотрим вывод момента инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рис. 1).
Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr. Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равном r.
Объем такого слоя равен:
DV = в ×2prdr, где в – толщина диска.
Диск однороден, r = const.
Согласно формуле (3) имеем:
(4)
Наконец, введя массу диска m, равную произведению плотности r на объем диска в p R2, получим:
(5)
В случае если ось (0¢0¢) перпендикулярна к диску, но проходит через его край (рис. 1), момент инерции определяется путем использования теоремы Штейнера. Теорема Штейнера формулируется следующим образом: момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела и произведению массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
J = J0 + m d2 (6)
Так, как, 
а 
d = R, то
(7)
Выведем моменты инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр. Для определения момента инерции шара относительно центральной оси O разобьем его на множественные элементарные диски (толщиной dh), параллельные плоскости XOУ (рис. 2).
Рис. 2
d h = r d j = Rcos j d j, где r = Rcosj
Масса элементарного диска радиусом r, равна:
dm = r p r2dh.
Момент инерции элементарного диска радиуса r и массой dm относительно оси О равен:
(8)
Момент инерции относительно оси О получаем, суммируя моменты инерции элементарных дисков и переходя к пределу суммы от О до 
(для полусферы).
Jполусферы 
(9)
Jполуcферы 
(10)
Для сферы момент инерции равен
Iсферы 
(11)
Объем сферы 
, тогда
Iсферы 
(12)
Формула (12) определяет момент инерции шара (сферы) при его вращении вокруг центра массы. Если шар вращается вокруг оси, не проходящей через центр массы, то его момент инерции определяется по теореме Штейнера (5).
Б. Кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси с угловой скоростью w, равна
(13)
Если тело, вращаясь, еще и движется поступательно, (плоское движение), то его кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного 
и вращательного 
движений:
Ек= + (14)
Определение момента инерции шара в данной работе производится по времени скатывания шара с наклонной плоскости (рис. 3).
Рис. 3
В верхней точке А наклонной плоскости кинетическая энергия шара равна нулю, потенциальная энергия равна mgh. В нижней точке (В) наклонной плоскости потенциальная энергия шара равна нулю, кинетическая энергия
ЕК = 
Кроме того, часть энергии уходит на работу против сил трения:
А = m mg l cosj (15)
где m — коэффициент трения, l — длина наклонной плоскости, j — угол при основании наклонной плоскости. Т. к. этот угол невелик, то с погрешностью, не превышающей 5%, можно считать cosj=I, тогда
А = m m g l (16)
По закону сохранения энергии
(17)
При отсутствии скольжения угловая скорость связана с линейным соотношением: w = 
, где R — радиус вращения (радиус шара; цилиндра).
Рис. 4
Подставив выражение w в формулу (17) и сократив на m, получим:
(18)
Выразим скорость в конце наклонной плоскости через время t и длину l:
, тогда
Формула (18) примет вид: 
(19)
Отсюда момент инерции равен:
(20)
Формула (20) является расчетной для момента инерции цилиндра и шара.
В. Трение качения
Цилиндр (шар), скатываясь с наклонной плоскости, находится под действием трех сил: 
, силы трения 
и реакции наклонной плоскости 
(рис. 4). Реакция в соответствии с третьим законом Ньютона равна по модулю нормальной составляющей силы 
, имеющей величину mg×sinj.
Трение между цилиндром и наклонной плоскостью возникает в точках соприкосновения. Поскольку эти точки цилиндра в каждый момент времени неподвижны (они образуют мгновенную ось вращения), сила трения, будет силой трения (качения) покоя. Скольжение при качении цилиндра по плоскости будет отсутствовать при условии, что линейная скорость точек соприкосновения будет равна нулю, что в свою очередь выполняется, если скорость центра масс 
равна в каждый момент времени угловой скорости вращения цилиндра w умноженной на радиус цилиндра R
(21)
соответственно ускорение центра инерции ar будет равно угловому ускорению, умноженному на радиус:
При соблюдении этих условий сила трения 
тр не превышает максимального значения 
и цилиндр будет скатываться без проскальзывания.
Напишем II-ой закон Ньютона для скатывания цилиндра (шара) с наклонной плоскости:
(22)
Момент силы трения относительно оси цилиндра будет отличен от нуля и равен 
. Тогда на основании II-го закона динамики для вращательного движения твердого тела можно записать:
(23)
где J — момент инерции цилиндра относительно оси его вращения, равный 
.
Решая совместно уравнения 21, 22, 23 найдем, что
(24)
Известно, что опытный закон трения качения имеет вид:
(25)
где N — сила нормального давления, равная в нашем случае mgcosj,
R — радиус цилиндра, m0 — коэффициент трения качения.
Приравнивая правые части равенств (24) и (25) получим:
(26)
Формула (26) является расчетной для цилиндра.
Для шара коэффициент трения качения получите самостоятельно:
(27)
Описание установки и метода измерений
Установка представляет собой наклонную плоскость с желобом, по которому движется шар. В верхней точке шар (цилиндр) удерживается электромагнитом, в нижней точке желоба находится концевой выключатель, выключающий секундомер. Секундомер включается в сеть U=220В, электромагнит вместе с реле включается в сеть – 24 В.
В зависимости от высоты наклонной плоскости меняется коэффициент трения, который определяется по формулам (26) и (27).
Порядок выполнения работы
1. Установить наклонную плоскость до h £15 см, измерить высоту h.
2. Включить в розетки вилки секундомера и электромагнита.
3. Установить тумблер в положение «магнит».
4. Установить шарик (цилиндр) в верхней точке желоба.
5. Переключить тумблер в положение «секундомер», если шарик (цилиндр) не выключит секундомер, опыт повторить. Снять с секундомера отсчет времени t движения шарика (цилиндра).
6. Пункты 3-5 повторить 5 раз.
7. Рассчитать среднее время скатывания.
8. Подставить среднее время в формулу (20). Найти экспериментальный момент инерции шара (цилиндра).
