По выполнению контрольных работ

 

К контрольной работе №1

 

Задание 1. Решить систему уравнений: а) методом Крамера; б) методом Гаусса.

2х₁ – 3х₂ + х₃ = - 7

х₁ + 2х₂ – 3х₃ = 14

- х₁ – х₂ + 5х₃ = -18

 

Решение:

а) методом Крамера

Найдем главный определитель:

2 -3 1

D = 1 2 -3 = 2·2·5 + 1·1·(-1) + (-3)·(-3)·(-1) – 1·2·(-1) – (-3) ·1·5 –

-1 -1 5

- 2·(-1)·(-3) = 20 – 1 – 9 + 2 + 15 – 6 = 21

 

Найдем определители D₁; D₂; D₃, которые получены заменой соответствующего столбца главного определителя на столбец свободных членов

 

-7 -3 1 2 -7 1 2 -3 -7

D₁ = 14 2 -3 = 21; D₂ = 1 14 -3 = 42; D₃ = 1 2 14 = - 63

-18 -1 5 -1 -18 5 -1 -1 -18

 

Находим х₁; х₂; х₃ по формулам Крамера:

 

х₁ = D₁/D = 21/21 = 1; х₂ = D₂/D = 42/21 = 2; х₃ = D₃/D = - 63/21 = -3.

 

Итак, х₁ = 1; х₂ = 2; х₃ = -3

 

б) методом Гаусса

 

Составим расширенную матрицу системы и путем элементарных преобразований приведем данную матрицу системы к треугольному виду (под главной диагональю нули)

2 -3 1 -7 для упрощения вычислений поменяем местами первую

1 2 -3 14 и вторую строки матрицы, тогда первый элемент первой

-1 -1 5 - 18 строки равен 1, получим матрицу:

 

1 2 -3 14 умножим первую строку на (-2) и прибавим ко второй

2 -3 1 -7 - 2 - 4 6 - 28

-1 -1 5 - 18 2 -3 1 - 7

0 -7 7 - 35 ô: (-7)

0 1 -1 5

первую строку прибавим к третьей

1 2 -3 14

-1 -1 5 - 18

0 1 2 - 4

получаем новую матрицу, в первом столбце которой нули

1 2 -3 14 из второй строки вычтем третью

0 1 -1 5 0 1 -1 5

0 1 2 - 4 0 1 2 - 4

0 0 3 -9

получаем матрицу треугольного вида

1 2 -3 14

0 1 -1 5

0 0 3 -9

Полученной матрице соответствует следующая система уравнений

 

х₁ + 2х₂ – 3х₃ = 14 х₁ + 2х₂ – 9 = 14 х₁ + 4 – 9 = 14 х₁ = 1

х₂ – х₃ = 5 Þ х₂ + 3 = 5 Þ х₂ = 2 Þ х₂ = 2

3х₃ = -9 х₃ = - 3 х₃ = - 3 х₃ = - 3

 

Итак, х₁ = 1; х₂ = 2; х₃ = -3

 

 

Задание2: Вычислить пределы.

 

а) lim 7х²+6х+1 б) lim х – 7 в) lim sin 20x

^х→∞ 6х² – х ^х→7 х² - 49 ^х→0 tg 7x

 

Решение:

а) Имеем lim 7х²+6х+1 = (неопределенность вида ∞/∞, разделим числитель и

^х→∞ 6х² – х знаменатель дроби на старшую степень х)

 

= lim 7х²/х² + 6х/х² + 1/х² = lim 7 + 6/х + 1/х² = 7 + 0 + 0 = 7

^х→∞ 6х²/х² – х/х^{2 х→∞} 6 – 1/х 6 – 0 6

 

б) Имеем lim х – 7 = (неопределенность вида 0/0, разложим на множители

^х→7 х² - 49 знаменатель дроби и сократим)

 

= lim х – 7 = lim 1 = 1 = 1

^х→7 (х – 7)(х+7) ^х→7 х + 7 7+7 14

 

в) lim sin 20x = (воспользуемся первым замечательным пределом lim sin x = 1)

^х→0 tg 7x ^х→0 x

 

= lim sin 20x = lim sin 20x cos 7x = lim sin 20x lim cos 7x = (lim cos 7x = 1)

^х→0 sin 7x/cos7x ^х→0 sin 7x ^х→0 sin 7x ^х→0 7x ^х→0 7x

 

= lim sin 20x 20x 7x = lim sin 20x lim 7x lim 20x = 1·1· 20 = 20

^х→0 20x sin 7x 7x ^х→0 20x ^х→0 sin 7x ^х→0 7x 7 7

 

 

Задание 3. Найти производную а) у = 8х⁵ + 2х² – 14х – 222

б) y = (x+1)· cos x

в) y = x + 7

x – 3

г) y = (5x² +2x)⁷

Решение:

а) Воспользуемся формулой производной степенной функции (xⁿ)' = n(x) ^n-1

и следующими правилами дифференцирования: (u+v)' = u' + v'

(C u)' = C(u)'

у' = (8х⁵ + 2х² – 14х – 222)' = 8(х⁵)'+ 2(х²)' – 14(х)' – (222)' =

= 8·5x⁴ + 2·2x – 14·1 – 0 = 40x⁴ + 4x – 14

 

б) Воспользуемся формулой производной произведения (u·v)' = u'·v + u·v'

y' = ((x+1)· cos x)' = (x+1)' cosx + (x+1) (cosx)' = cos x + (x+1)(- sin x)

 

в) Воспользуемся формулой производной частного (u)' = u'·v – u·v'

v v²

y' = x + 7 ' = (x+7)'(x – 3) – (x+7)(x – 3)' = 1·(x – 3) – (x+7)·1 = x–3–x–7 = - 10

x – 3 (x – 3)² (x – 3)² (x – 3)² (x – 3)²

 

г) Воспользуемся формулой производной сложной функции (u(v))' = u'·v'

 

y' = ((5x² +2x)⁷) ' = 7(5x² +2x)⁶(5x² +2x) ' = 7 (5x² +2x)⁶ (10х+2)

 

 

Задание 4. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график: y = 3х – х³ – 1

 

Решение:

Для исследования функции и построения ее графика воспользуемся схемой:

1. Найти область определения функции;

2. Проверить четность, нечетность, периодичность функции;

3. Найти нули функции, точки пересечения графика с осями координат (если это возможно)

4. Найти асимптоты графика функции;

5. Найти промежутки возрастания и убывания функции, ее экстремумы;

6. Найти промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

7. Построить график функции, используя результаты исследования.

Для более точного построения можно найти дополнительные точки графика, вычислив значения функции в некоторых точках.

Реализуем указанную схему.

1) О.О.Ф. х – любое число

2) Проверим четность: у(-х) = 3(-х) – (- х)³ – 1 = - 3х + х³ – 1 не выполняется равенство у(-х) = - у(х) функция не является нечетной

не выполняется равенство у(-х) = у(х) функция не является четной

Функция не является периодичной.

3) Точка пересечения с осью ОУ (0; -1), так как у(0) = -1. Точек пересечения с осью ОХ

1) Найдем асимптоты графика функции: Точек разрыва функция не имеет, значит вертикальных асимптот нет. Предел функции на бесконечности lim f(x) = ∞

^{х→ ±∞}

горизонтальных асимптот нет.

Проверим наличие наклонных асимптот для графика функции у = f(x)

 

k = lim f(x) = lim 3х – х³ – 1 = lim 3 – х² – 1/х = 3 - ∞ - 0 = - ∞

^{х→ ±∞} х ^{х→ ±∞} х ^{х→ ±∞}

наклонных асимптот нет

2) Найдем экстремумы функции, для этого найдем первую производную функции у' = (3х – х³ – 1)' = 3 – 3х²

Стационарные точки: 3 – 3х² = 0

х² = 1

х = ± 1 ________________________

у(-1) = - 3; у(1) = 1 - 1 + 1

Функция убывает (-∞; -1) и (1; +∞), возрастает (-1; +1)

3) Найдем промежутки выпуклости и вогнутости, для этого найдем вторую производную у'' = (3 – 3х²)' = - 6х точки перегиба у'' = 0 → х = 0 _______________________

У(0) = - 1 0

4) Строим график:

у

 

 

 

 

-1 1 х

 

 

Задание 5. Найти неопределенный интеграл

А)ò (2х³+9х²+10)dx Б) ò (2x +1)²⁴dx В) ò x sin2x dx

Решение:

А) Для нахождения интеграла используем прием непосредственного интегрирования, и формулу первообразной степенной функции

 

ò (2х³+9х²+10)dх=2·х³⁺¹/(3+1)+9х²⁺¹/(2+1)+10х=2·х⁴/4+9х³/3+10х=х⁴/2+3х³+10х+C

 

Б) Для нахождения интеграла используем прием замены переменной, и формулу первообразной степенной функции.

Заменим 2х+1 = t, тогда dt = d(2x+1) = 2 dx, тогда dx = ½ dt подставляя в исходный интеграл имеем

ò (2x +1)²⁴dx = ò1/2 t²⁴ dt = 1/2· t²⁵/25 = (2x+1)²⁵/50 + C

 

В) Для нахождения интеграла используем прием интегрирования по частям

ò u dv = uv - ò v du

ò x sin2x dx = [ x = u sin 2x dx = dv ] = -½x cos 2x - ò(-½cos2x) dx=

dx = du òsin 2xdx = ò dv

-½ cos 2x = v

= -½x cos 2x + ½ ½sin 2x = -½x cos 2x + ¼sin 2x + C

 

 

Задание 6. Вычислить определенный интеграл

₃

∫(x²+2)dx

¹

Решение:

Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница

_{b b}

ò f(x) dx = F(x)ô = F(b) – F(a)

^{a a}

_{3 3}

∫(x²+22)dx = (x³/3 + 22x)ô= (3³/3 + 22·3) – (1³/3 + 22·1) = (9 + 66) – (0,3 + 22) =

^{1 1} = 75 – 22.3 = 52.7

 

Задание 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

у=х²+4, у=6 – х. Сделать рисунок.

 

Решение:

Найдем точки пересечения графиков, для этого решим уравнение

х²+4 = 6 – х

х²+ х – 2 = 0, откуда х₁ = - 2; х₂ = 1 – границы интеграла.

Линия у = 6 – х лежит выше графика функции у = х²+4, поэтому находим площадь фигуры как разность площадей криволинейных трапеций.

_{1 1 1}

S = ò((6 – x) – (x²+4)) dx = ò(2 – x – x²) dx = (2x – x²/2 – x³/3)ô= (2·1 – 1²/2 – 1³/3) –

^{-2 -2 -2}

- (2·(-2) – (-2)²/2 – (-2)³/3) = (2 - 0,5 – 0,3) – (- 4 – 2 +2,7) = 1,2 – (-3,3) = 4,5

Сделаем рисунок: у

 

 

6

 

х

-2 0 1 6

 

Ответ: S = 4,5 кв.ед.

 

Задание 8. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения

(13 – 10х) · у' = 20у

 

Решение:

Разделим переменные, для этого умножим обе части уравнения на выражение 1

(13 – 10х) у

(13 – 10х) · у' = 20у

(13 – 10х) у (13 – 10х) у, учитывая, что у' = dy/dx получим

 

dу/y dx = 20 /(13 – 10x) ô· dx

 

dy/y = 20 dx/(13 – 10x) интегрируем обе части

 

ò dy/y = ò 20 dx/(13 – 10x)

 

ln y = - 20 ln(13 – 10x)

y = (13 – 10х)^-2 + C - общее решение исходного уравнения

при заданных начальных условиях у(0) = 1 получаем:

1 = 13^-2 + С, откуда С = 1 – 13^-2 = 1 – 1/169 = 168/169

 

Частное решение уравнения при заданных начальных условиях: y = (13 – 10х)^-2 + 168/169

К контрольной работе №2.

 

Задача 1. В коробке находится 11 белых и 6 красных кубиков. Какова вероятность того, что два подряд вынутых кубика красные?

 

Решение:

Определение: Вероятностью события А называется отношение числа m исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу n всех исходов события А

Р = m/n

 

По формуле числа сочетаний из n = 17 по m = 2 элементов найдем общее число возможных пар кубиков из общего числа кубиков, находящихся в коробке

n = С²₁₇ = 17! /(17-2)! = 17!/15! = 16·17 = 272

Благоприятными будут исходы, в которых 2 кубика выпали из 6 красных. По формуле числа сочетаний из n = 6 по m = 2 элементов найдем число благоприятных пар кубиков

m = С²₆ = 6!/(6-2)! = 6!/4! = 5·6 = 30

 

Таким образом вероятность того, что два подряд вынутых кубика красные равна Р = 30/272 = 0,11

 

Задача 2. Студент сдает экзамен. В билете три вопроса. Вероятность того, что студент знает ответ на первый вопрос, равна 0,7; на второй – 0,8; на третий – 0,6. Найти вероятность того, что студент ответит ровно на два вопроса из билета.

 

Решение:

Обозначим элементарные события буквами, запишем их вероятность

А: знает ответ на первый вопрос Р(А) = 0,7

В: знает ответ на второй вопрос Р(В) = 0,8

С: знает ответ на третий вопрос Р(С) = 0,6

Противоположные события и их вероятности будут:

_ _

А: не знает ответ на первый вопрос Р(А) = 1 - 0,7 = 0,3

_ _

В: не знает ответ на второй вопрос Р(В) = 1 - 0,8 = 0,2

_ _

С: не знает ответ на третий вопрос Р(С) = 1 - 0,6 = 0,4

Событие «студент ответит ровно на два вопроса» означает, что он ответит на первый и второй вопросы и не ответит на третий, или ответит на первый и третий, не ответит на второй, или не ответит на первый и ответит на второй и третий. Составляем формулу этого события, пользуясь теоремами сложения и умножения независимых событий.

_ _ _

D = ABC + ABC + ABC

P(D) = 0,7·0,8·0,4 + 0,7·0,2·0,6 + 0,3·0,8·0,6 = 0,224 + 0,084 + 0,144 = 0,452

 

Задача 3. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

Х
Р	0,3	0,3	Р3

 

 

Найти: а) р₃; б) математическое ожидание величины; в) дисперсию; г) среднее квадратическое отклонение, д) функцию распределения; е) построить полигон распределения.

 

Решение:

а) Сумма вероятностей всех значений дискретной случайной величины равна 1.

Найдем р₃:

р₃ = 1 – (р₁ + р₂) = 1 – (0,3+0,3) = 1 – 0,6 = 0,4

 

б) Математическое ожидание находится по формуле: М(X) = ∑ x_i p_i

 

M(X) = 10·0,3 + 15·0,3 + 20·0,4 = 3 + 4,5 + 8 = 15,5

 

в) Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле:

 

D(X) = ∑ (x_i – a)² p_i где а = М(Х)

 

D(X) = (10 – 15,5)²·0,3 + (15 – 15,5)² ·0,3 + (20 – 15,5)² ·0,3 = 30,25·0,3 + 0,25· 0,3 + 20,25·0,4 = 9,075 + 0,075 + 8,1 = 17,25

____

г) Среднее квадратическое отклонение находится по формуле: σ(Х) = ÖD(Х)

_____

σ(Х) = Ö17,25 = 4,15

 

д) Определение: Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х.

F(x) = P (X < x)

 

1. Если х < 10, то F(х) = 0

2. Если 10 < х £ 15, то F(х) = 0,3

3. Если 15 < х £ 20, то (х) = 0,3 + 0,3 = 0,6

4. Если х > 20, то (х) = 1

 

 

Построим график функции распределения

1

 

 

0,3

 

0,3

 

0 10 15 20 x

е) Построим полигон распределения.

Р

 

 

0,4

0,3

 

 

0 10 15 20 x

 

 

Задание 2. Исследовать ряд на сходимость:

_∞

∑ n

ⁿ⁼¹ 5^n-1

Решение:

 

Воспользуемся признаком Д'Аламбера:

_∞

Если ряд ∑ а_n - знакоположительный, и lim a_n+1 = d, тогда

^{n=1 n→∞} a_n

ряд сходится, если d < 1:

ряд расходится, если d > 1

при d = 1 необходимо дополнительное исследование.

 

В нашем случае a_n = n > 0, a_n+1 = n + 1 = n + 1

5^n-1 5^n-1+1 5ⁿ

d = lim (n + 1) 5^n-1 = lim 1 + 11 = 1

^n→∞ 5ⁿ n ^n→∞ n 5 5

 

так как d = 1/5 < 1, то ряд сходится.

 

 

Задание 3. Задать множества А и В, указав все их злементы, если А = {x+2: x ÎN, - 4< x £ 7}; B = {3x-2: x ÎN, -1< x £ 4}

Найти сумму (объединение) и произведение (пересечение) этих множеств

 

Решение:

 

Зададим множество А = { -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

(каждый элемент находится по заданной формуле, например: при х= -3 имеем элемент -3+2 = -1, и т.д.)

Зададим множество B = { -2; 1; 4; 7; 10}

 

Определение: Суммой двух множеств АÈВ является множество, каждый элемент которого принадлежит либо множеству А, либо множеству В

 

Найдем сумму множеств А È В = { -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

 

Определение: произведением двух множеств АÇВ является множество, каждый элемент которого принадлежит как множеству А, так и множеству В

 

Найдем произведение АÇВ = { 1; 4; 7}

 

 

Основная литература.

 

1. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.И. Математический анализ в вопросах и задачах. – М.: Физматлит, 2002г.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1 и 2. – М.: ОНИКС 21 век «Мир и Образование», 2002 г.

3. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М.: Издательский центр «Академия», Мастерство, 2002 г.

 

Дополнительная литература.

 

4. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Роскнига, 2001 г.

5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.

6. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. С-Пт.:Лань, 2001 г.

7. Подольский В.А. и др. Сборник задач по математике: учебное пособие для средних специальных учебных заведений. М.: Высшая школа, 1999 г.

 

 

Приложение 1.