Для решения задачи (прямая линия на плоскости) следует использовать следующие сведения:
1). Угол наклона прямой к оси OX - это угол, на который нужно повернуть ось OX, чтобы она совпала с данной прямой (или оказалась параллельной ей). Как обычно, угол положителен, если поворачиваем против часовой стрелки, и отрицателен, если поворачиваем по часовой стрелке. Будем обозначать его буквой 
.
2). Угловой коэффициент прямой - это тангенс угла наклона прямой к оси OX. Будем обозначать его буквой k. Следовательно,
k = tg 
. (1)
3). Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Если прямая не параллельна оси OY (рис.1), то ее уравнение
y = kx + b, (2)
где b - ордината точки пересечения прямой с осью OY, k - угловой коэффициент прямой, (x,у) - координаты любой точки на прямой. Если прямая параллельна оси OY (рис.2), то ее уравнение
x = a, (3)
где a - абцисса точки пересечения прямой с осью OX.
4). Уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0,y0) и имеющей угловой коэффициент k,
y - y0 = k (x - x0), (4)
где (x0,y0) - координаты заданной точки на прямой, k - угловой коэффициент прямой, (x,y) - координаты любой точки на прямой.
5). Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1 (x1,y1) и M2 (x2,y2),
(5)
где (x 1,y 1) - координаты одной точки на прямой, (x2,y2) - координаты другой точки на прямой, (x,y) - координаты любой точки на прямой.
6). Общее уравнение прямой
Ax + By + C = 0, (6)
где A, B, C - заданные числа, причем A и B одновременно в нуль не обращаются, (x,y) - координаты любой точки на прямой.
Если B не обращается в нуль, то уравнение (6) можно преобразовать следующим образом:
y = - 
x - 
. (6')
Тогда, сопоставив формулы (6') и (2), имеем:
k = - 
7). Условие параллельности двух прямых
k1 = k2, (7)
где k1 и k2 - угловые коэффициенты прямых.
8). Условие перпендикулярности двух прямых
k 1 
k2 = -1, (8)
где k 1 и k 2 - угловые коэффициенты прямых.
9). Нахождение координат точки пересечения двух прямых
Если две непараллельные прямые заданы своими уравнениями:
A1 X + B1Y + C1 = 0 и A2 X + B2Y + C 2 = 0,
то координаты точки пересечения этих прямых - есть решение системы уравнений:
(9)
10.) Нахождение угла между прямыми:
(10.a)
(10.б.)
если 
то формула понимается условно (
),
- угол на который надо повернуть первую прямую, чтобы она стала параллельна второй.
11). Нахождение координат середины отрезка
Если точка A имеет координаты (xa,ya), а точка B - (xb,yb), то координаты середины O отрезка АB можно найти по формулам:
(11)
12). Нахождение длины отрезка
Если точка А имеет координаты (xa,ya), а точка В - (x b,yb), то длину отрезка АВ можно найти по формуле:
. (12)
13). Деление отрезка в данном отношении
Если точка A имеет координаты (xa,ya), а точка B - (xb,yb), то координаты точки С делящей отрезок АB в отношении m: n можно найти по формулам:
(13)
14.) Площадь треугольника. Пусть точки А1(x1,y1), A2(x2,y2), A3(x3,y3) – вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:
(14.)
Знак перед определителем выбирается так, чтобы площадь была положительной.
Рассмотрим несколько примеров применения приведенных формул.
Задача 2. Точки А (2,1), В (1,-2), С (-1,0) являются вершинами треугольника АВС.
2.а.) Найти уравнения сторон треугольника АВС
Решение. Первая прямая проходит через две точки А (2,1), В (1,-2), поэтому ее уравнение будем искать в виде (5): 
.
Подставляя x1 = 2, x2 = 1, y1= 1, y2= -2, получим: 
Вторая прямая проходит через две точки В (1,-2), С (-1,0) поэтому ее уравнение будем искать в виде (5): .
Подставляя x1 = 1, x2 = -1, y1= -2, y2= 0, получим: 
, разделим на 2 получим x+y+1=0.
Третья прямая проходит через две точки А (2,1), С (-1,0) поэтому ее уравнение будем искать в виде (5): .
Подставляя x1 = 2, x2 =-1, y1=1, y2= 0, получим:
2.б.) Найти уравнение одной из медиан треугольника АВС.
Решение. Обозначим середину стороны ВС буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
B (1;-2), C (-1;0)
Уравнение медианы АM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана АМ проходит через точки А (2;1) и М (0;-1), поэтому:
2.в.) Найти уравнение одной из высот треугольника АВС.
Решение. Найдем уравнение высоты CZ, проходящей через точку
С (-1;0) и точку Z, лежащую на стороне АВ: 3x-y-5=0. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой АВ. Для этого представим уравнение
3x-y -5 = 0 в виде (2): y = k 1 x + b.
, т.е. k1 = 3.
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых (8): k1 
k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой,получим:
.
Так как перпендикуляр проходит через точку С(-1;0) и имеет
k =- 
,то будем искать его уравнение в виде (4):
y-y0 =k(x-x0).
Подставляя
x 0 = -1, k =- 
, y0=0 получим:
y - 0 =- 
(x –(-1)) x +3y + 1 = 0.
уравнение высоты CZ.
2.г.) Найти уравнение одной из биссектрис треугольника АВС.
Решение. Найдем биссектрису угла ВАС. Точку пересечения биссектрисы со стороной СВ обозначим М.
Воспользуемся формулой (10.б) AB: 3x-y-5=0, AC: x-3y-1=0
Углы вычисляем на калькуляторе, либо по таблицам. Биссектриса делит угол пополам, следовательно 
. Тангенс угла наклона АВ равен 3 ( т.к. y=3x-5). Угол наклонаравен 710. 
. 
.
Биссектриса проходит через точку А (2,1), используя формулу (4), имеем:
y - y0 = k (x - x0); y-1=1(x-2), уравнение биссектрисы y = x-1
2.д.) Найти площадь треугольника АВС.
Точки А (2,1), В (1,-2), С (-1,0) являются вершинами треугольника АВС. Воспользуемся формулой (14).
Задача 3
3.1-3.20 Даны координаты точек А1 ,A2 ,А3 ,A4
Найти длину ребра А1 А2. Составить уравнение ребра А1 А4.и грани А1А2А3 . Составить уравнение высоты опущенной из точки А 4 на плоскость А1А2А3 . Найти площадь треугольника А1A2A3 . Найти объем треугольной пирамиды А1A2А3A4
| N | Координаты точек | |||
| Вар | A1 | A2 | A3 | A4 |
| 2.1 | (1;0;2) | (2;1;1) | (-1;2;0) | (-2;-1;-1) |
| 2.2 | (-1;2;1) | (1;0;2) | (2;-1;3) | (1;1;0) |
| 2.3 | (2;1;1) | (-1;2;-1) | (1;0;-2) | (3;-1;2) |
| 2.4 | (-1;2;0) | (1;0;-2) | (3;1;1) | (2;-1;-1) |
| 2.5 | (2;0;1) | (1;3;-1) | (-1;2;0) | (2;-2;1) |
| 2.6 | (1;2;-3) | (2;1;1) | (3;0;2) | (0;-1;3) |
| 2.7 | (1;-2;3) | (3;1;2) | (-1;0;-3) | (2;-1;1) |
| 2.8 | (2;0;3) | (-1;3;2) | (3;2;0) | (-2;1;1) |
| 2.9 | (-2;1;-3) | (3;-1;0) | (2;3;1) | (1;2;2) |
| 2.10 | (2;2;1) | (`1;1;3) | (-2;0;-1) | (0;-1;2) |
| 2.11 | (1;2;5) | (0;7;2) | (0;2;7) | (1;5;0) |
| 2.12 | (4;4;10) | (4;10;2) | (2;8;4) | (9;6;4) |
| 2.13 | (4;6;5) | (6;9;4) | (2;10;10) | (7;5;9) |
| 2.14 | (3;5;4) | (8;7;4) | (5;10;4) | (4;7;8) |
| 2.15 | (10;6;6) | (-2;8;2) | (6;8;9) | (7;10;3) |
| 2.16 | (1;8;2) | (5;2;6) | (5;7;4) | (4;10;9) |
| 2.17 | (6;6;5) | (4;9;5) | (4;6;11) | (6;9;3) |
| 2.18 | (7;2;2) | (5;7;7) | (5;3;1) | (2;3;7) |
| 2.19 | (8;6;4) | (10;5;5) | (5;6;8) | (8;10;7) |
| 2.20 | (7;7;3) | (6;5;8) | (3;5;8) | (8;4;1) |
5.1
