Проверка закона распределения случайной величины методом Пирсона

Числовые характеристики выборки.

Целью работы являлосьдля заданной выборки вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию, вычислить доверительный интервал для математического ожидания случайной величины, построить гистограмму выборки, проверить закон распределения выборки методом Пирсона.

В первый столбец таблицы Excel разместим данные выборки, содержащиеся в файле 1.txt. Объем выборки 200. В строке ниже высчитываем сумму элементов выборки: Sx=-2242,6135

Далее вычисляем выборочное среднее по формуле:

= 11,2130675

 

Во втором столбце таблицы Excel размещаем значения, равные , т.е. отклонения от среднего значения. В строке ниже под вторым столбцом вычисляем сумму значений: сумма равна 1,95399E-14, т.е сумму отклонений всех значений выборки от среднего значения. Эта величина должна быть близка к нулю.

В третьем столбце размещаем квадраты значений второго столбца

В строке ниже размещаем сумму элементов третьего столбца:

= 23218,94309

В следующей строке третьего столбца - эту сумму, деленную на объем выборки – дисперсия выборки:

= 116,0947155

 

Исправленная дисперсия вычисляется по формуле:

=116,678106

Среднее квадратическое отклонение выборки:

=10,80176402

 

Результаты оформляем в виде таблицы

	Явная формула	Значение по явной формуле	Имя функции Excel	Значение Функции Excel
Выборочное среднее		11,2130675	СРЗНАЧ	11,2130675
дисперсия		116,0947155	ДИСПР	116,0947155
Исправленная дисперсия		116,678106	ДИСП	116,678106
Среднее квадратическое отклонение		10,80176402	СТАНДОТКЛОНА	10,80176402

 

Строим точечную диаграмму выборки и проверяем соответствие числовых характеристик выборки данным на диаграмме.

Вычислить доверительный интервал для математического ожидания случайной величины с надежностью .

Границы доверительного интервала определяются по формулам

Где - квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы k=n-1. Вычисляется в Excel с помощью статистической функции .

1,971957 - коэффициент Стьюдента

1,506181- ∆Х

a= 9,706887 b=12,71925

 

Проверка закона распределения случайной величины методом Пирсона.

В новом столбце вычисляем максимальный элемент выборки = 54,6252, минимальный элемент =0,0344. Шаг разбиения диапазона значений выборки для построения гистограммы

= 9,098466667

В следующем столбце размещаем значения, являющиеся внутренними границами интервалов:

 

	c1
	с2
	c3
	c4
	c5

В следующих столбцах размещаем массив частот для гистограммы

 

и относительных частот:

n1
n2
n3
n4
n5
n6

 

w1	0,55
w2	0,25
w3	0,1
w4	0,065
w5	0,02
w6	0,015

 

Представляем гистотрамму графически:

Вычислить теоретические частоты, соответствующие равномерному

и нормальному распределению

pn1	0,273285
pn2	0,318424
pn3	0,190089
pn4	0,058055
pn5	0,009044
pn6	0,000716

 

Вычислить критерий Пирсона соответствия выборке равномерному:

= 255,82

 

и нормальному распределению:

= 127,3615

 

 

Вывод о законе распределения выборки:

Выбор интервалов – не простая задача при практическом использовании критерия хи-квадрат. Следует иметь в виду, что преобразование выборки к интервальному виду (в случае непрерывной Х) связано с некоторой потерей информации. Однако для эффективной работы критерия Пирсона группировка является необходимой операцией, позволяющей параметризировать критерий. Но при этом число интервалов не должно быть ни слишком малым, иначе будет потерянно слишком много информации о распределении генеральной совокупности, ни слишком большим, т.к. в этом случае получаются слабо наполненные разряды, и мощность критерия падает. Теоретически этот вопрос исследовался в специальной литературе, где было показано, что при проверке на нормальность оптимальное число интервалов группировки определятся соотношением