Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 2 страница

 

Пример. Две игральные кости одновременно бросают 2 раза. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях.

 

Каждая игральная кость имеет три варианта четных очков – 2, 4 и 6 из шести возможных, таким образом, вероятность выпадения четного числа очков на одной кости равна 0,5.

Вероятность одновременного выпадения четных очков на двух костях равна 0,25.

Вероятность того, что при двух испытаниях оба раза выпали четные очки на обеих костях, равна:

Вероятность того, что при двух испытаниях один раз выпали четные очки на обеих костях:

Вероятность того, что при двух испытаниях ни одного раза не выпаде четного числа очков на обеих костях:

ЛЕКЦИЯ 3.

 

 

Распределение Пуассона.

(Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик)

 

Пусть производится п независимых испытаний, в которых появление события А имеет вероятность р. Если число испытаний п достаточно велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мало (p £0,1), то для нахождения вероятности появления события А k раз находится следующим образом.

 

Сделаем важное допущение – произведение пр сохраняет постоянное значение:

 

Практически это допущение означает, что среднее число появления события в различных сериях испытаний (при разном п) остается неизменным.

 

По формуле Бернулли получаем:

 

Найдем предел этой вероятности при п ®¥.

 

 

Получаем формулу распределения Пуассона:

 

 

Если известны числа l и k, то значения вероятности можно найти по соответствующим таблицам распределения Пуассона.

 

 

Числовые характеристики дискретных случайных величин.

 

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

 

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

 

Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.

 

С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

 

Свойства математического ожидания.

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.

 

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

 

 

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

 

Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.

 

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

 

Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин.

 

Пусть производится п независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р.

 

Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.

 

 

Однако, математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.

Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль.

 

Определение. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

 

 

Пример. Для рассмотренного выше примера закон распределения случайной величины имеет вид:

X
p	0,0625	0,375	0,5625

 

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

 

Математическое ожидание случайной величины равно:

 

Возможные значения квадрата отклонения:

 

Тогда

[X-M(X)]2	2,25	0,25	0,25
p	0,0625	0,375	0,5625

 

Дисперсия равна:

 

 

Однако, на практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, т.к. приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким вычислениям.

Поэтому применяется другой способ.

 

 

Вычисление дисперсии.

 

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.

 

Доказательство. С учетом того, что математическое ожидание М(Х) и квадрат математического ожидания М²(Х) – величины постоянные, можно записать:

 

 

 

 

Применим эту формулу для рассмотренного выше примера:

 

X
X2
p	0,0625	0,375	0,5625

 

 

 

Свойства дисперсии.

 

 

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю.

 

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

 

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

 

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 2.

 

 

Теорема. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в каждом испытании.

 

 

Среднее квадратическое отклонение.

 

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

 

Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.

 

 

Пример. Завод выпускает 96% изделий первого сорта и 4% изделий второго сорта. Наугад выбирают 1000 изделий. Пусть Х – число изделий первого сорта в данной выборке. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

 

Выбор каждого из 1000 изделий можно считать независимым испытанием, в котором вероятность появления изделия первого сорта одинакова и равна р = 0,96.

Таким образом, закон распределения может считаться биноминальным.

 

 

 

 

Пример. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления этого события в каждом испытании равны и известно, что М(Х) = 0,9.

 

Т.к. случайная величина Х распределена по биноминальному закону, то

 

 

 

Пример. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А, если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.

 

По формуле дисперсии биноминального закона получаем:

 

 

 

Пример. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно р₁=0,3; p₂=0,4; p₃=0,5; p₄=0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.

 

Принимая за случайную величину число отказавших приборов, видим что эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4.

Для составления закона распределения этой случайной величины необходимо определить соответствующие вероятности. Примем .

 

1) Не отказал ни один прибор.

 

2) Отказал один из приборов.

0,302.

 

3) Отказали два прибора.

 

4) Отказали три прибора.

 

5) Отказали все приборы.

 

Получаем закон распределения:

 

x
x2
p	0,084	0,302	0,38	0,198	0,036

 

Математическое ожидание:

 

 

Дисперсия:

 

 

Функция распределения.

 

Во всех рассмотренных выше случаях случайная величина определялась путем задания значений самой величины и вероятностей этих значений.

Однако, такой метод применим далеко не всегда. Например, в случае непрерывной случайной величины, ее значения могут заполнять некоторый произвольный интервал. Очевидно, что в этом случае задать все значения случайной величины просто нереально.

Даже в случае, когда это сделать можно, зачастую задача решается чрезвычайно сложно. Рассмотренный только что пример даже при относительно простом условии (приборов только четыре) приводит к достаточно неудобным вычислениям, а если в задаче будет несколько сотен приборов?

Поэтому встает задача по возможности отказаться от индивидуального подхода к каждой задаче и найти по возможности наиболее общий способ задания любых типов случайных величин.

 

Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее х, т.е. Х < x, обозначим через F(x).

 

Определение. Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х.

Функцию распределения также называют интегральной функцией.

Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения.

Для дискретной случайной величины функция распределения имеет вид:

Знак неравенства под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется на те возможные значения случайной величины, которые меньше аргумента х.

Функция распределения дискретной случайной величины Х разрывна и возрастает скачками при переходе через каждое значение х_i.

 

Так для примера, рассмотренного выше, функция распределения будет иметь вид:

 

Свойства функции распределения..

 

1) значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1].

 

2) F(x) – неубывающая функция.

при

 

3) Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале.

 

4) На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице.

 

5) Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Таким образом, не имеет смысла говорить о каком – либо конкретном значении случайной величины. Интерес представляет только вероятность попадания случайной величины в какой – либо интервал, что соответствует большинству практических задач.

 

 

Плотность распределения.

 

Функция распределения полностью характеризует случайную величину, однако, имеет один недостаток. По функции распределения трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки числовой оси.

 

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

 

Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.

Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины.

 

Определение. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением(может быть, конечного числа точек.

 

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

 

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b.

 

Доказательство этой теоремы основано на определении плотности распределения и третьем свойстве функции распределения, записанном выше.

 

Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и x=b.

 

Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле:

 

 

Свойства плотности распределения.

 

1) Плотность распределения – неотрицательная функция.

 

2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - ¥ до ¥ равен единице.

 

 

Пример. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью:

 

Требуется найти коэффициент а, построить график функции плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от 0 до .

 

Построим график плотности распределения:

 

 

 

 

Для нахождения коэффициента а воспользуемся свойством .

 

Находим вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

 

Пример. Задана непрерывная случайная величина х своей функцией распределения f(x).

Требуется определить коэффициент А, найти функцию распределения, построить графики функции распределения и плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина х попадет в интервал .

 

Найдем коэффициент А.

 

Найдем функцию распределения:

1) На участке :

 

2) На участке

 

3) На участке

 

Итого:

Построим график плотности распределения:

f(x)

ЛЕКЦИЯ 4.

 

Построим график функции распределения:

 

 

F(x)

 

 

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал .

 

 

Ту же самую вероятность можно искать и другим способом:

 

 

 

Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

 

Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [ a,b ].

 

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл

 

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

 

При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

 

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

 

 

Определение. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.

 

Определение. Модой М₀ дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.

 

Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным.

Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным.

 

Определение. Медианой M_D случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.