Банк задач для подготовки к экзамену
ТГР ПГ 4 семестр
Математика.
Модуль 1. Случайные события.
1. В двух урнах содержатся белые и черные шары: в первой урне 5 белых и 7 черных, во второй урне 3 белых и 10 черных. Из каждой урны одновременно извлекли по одному шару. Найти вероятность того, что хотя бы один из вынутых шаров будет черным.
2. На склад поступают детали с заводов 1 и 2. 30 % деталей поступает с завода 2. Завод 1 выпускает 80 % отличных деталей, а завод 2 - 75 % отличных деталей. Подсчитать вероятность того, что наугад взятая со склада деталь не будет отличной.
3. В двух ящиках содержатся синие, черные и красные шары: в первом ящике 4 синих, 2 черных и 7 красных, во втором - 3 синих, 1 черный и 5 красных. Из каждого ящика извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что хотя бы один из вынутых шаров будет красным.
4. Имеются 3 урны, в каждой из которых содержатся 7 белых и 4 черных шара, и 2 урны, в каждой их которых 5 белых и 1 черный шар. Какова вероятность вынуть белый шар из наугад выбранной урны, если предполагается, что выбор любой урны имеет одну и ту же вероятность.
5. Вероятность поражения стрелком мишени при одном выстреле равно 0,8. Найти вероятность того, что при четырех последовательных выстрелах будет не более 2 промахов.
6. Каждый из двух игроков бросает один раз игральную шестигранную кость. Найти вероятность того, что у первого игрока выпадет большее число очков.
7. Два стрелка стреляют в цель. Вероятность поражения цели при одном выстреле первым стрелком равна 0,8, вторым - 0,9. Найти вероятность того, что: а) оба стрелка поразят цель; б) хотя бы один стрелок поразит цель; в) только один стрелок попадет в цель; г) оба стрелка промахнутся.
8. Определить вероятность того, что при шестикратном бросании шестигранной игральной кости четное число очков выпадет не менее двух раз.
9. В тире имеются четыре ружья, вероятность попадания стрелком в цель для каждого из них соответственно равна 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Стрелок берет наугад ружье и дважды стреляет в цель. Какова вероятность поражения цели.
10. В ящике лежат 100 деталей, 20 из которых изготовлены одним заводом и 80 - другим. Первый завод изготавливает хороших деталей 90 %, а другой - 80 %. Определить вероятность того, что две наугад вынутые детали окажутся хорошими.
11. Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью Р = 0,3. Опыт повторяют 100 раз. Найти вероятность того, что случайное событие А появится от 20 до 40 раз.
12. Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью Р = 0,2. Опыт повторяют 500 раз. Найти вероятность того, что относительная частота появления события А отклонится от Р = 0,2 не более, чем на 0,1.
13. Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью Р = 0,5. Сколько раз нужно провести опыт для того, чтобы с вероятностью большей, чем 0,9, можно было ожидать отклонение частоты появления события А от Р = 0,5 не более, чем на 0,1.
14. Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью Р = 0,7. Опыт повторяют 1000 раз. Найти, какое отклонение относительной частоты появления события А от Р = 0,7 можно ожидать с вероятностью 0,8.
15. Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью Р = 0,55. Опыт повторяют 400 раз. Какова вероятность того, что событие А появится в большинстве из проведенных опытов.
16. Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью Р = 0,4. Опыт повторяют 850 раз. Какова вероятность того, что событие А появится в меньшинстве из проведенных опытов.
Модуль 2 Случайные селичины
17. Дана дискретная случайная величина Х в виде таблицы, в первой строке указаны значения случайной величины, а во второй строке – вероятности, с которыми принимаются эти значения. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины Х. Написать функцию распределения этой величины и построить график.
| Х | ||||
| Р | 0,2 | 0,1 | 0,4 | 0,3 |
| Х | ||||
| Р | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
18. Задана непрерывная случайная величина Х своей функцией распределения F(x). Требуется:
1) Определить коэффициент А;
2) Найти плотность распределения вероятностей f(x);
3) Схематически построить графики F(x) и f(x);
4) Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х;
5) Найти вероятность того, что Х примет значения из интервала (α, β).
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. Задана непрерывная случайная величина X своей функцией плотности f(x). Требуется:
1) Определить коэффициент А;
2) Найти функцию распределения F(x);
3) Схематически построить графики F(x) и f(x);
4) Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х;
5) Найти вероятность того, что Х примет значения из интервала (α, β).
A 
B 
C 
D 
E 
25. Задана нормально распределенная случайная величина X своими параметрами а (математическое ожидание) и σ (среднее квадратическое отклонение). Требуется:
1) Написать плотность вероятности f(x) и схематически изобразить ее график;
2) Найти вероятность того, что X примет значения из интервала (α, β);
3) Найти вероятность того, что X отклонится (по модулю) от а не более чем на δ.
A а = 10 σ = 1 α = 9 β = 12 δ = 2
B а = 11 σ = 2 α = 10 β = 13 δ = 2
