МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Томский государственный архитектурно-строительный университет»
(ТГАСУ)
Факультет: Инженерно-экологический
Кафедра: Высшая математика
Реферат
На тему: «Поверхности второго порядка».
Выполнил: студент группы 042.4 Розин Николай
Проверила: Сергеева О.А.
Томск 2012
Содержание:
Глава 1:
1. Определение декартовой системы координат 3
2. Подробная характеристика следующих поверхностей:
2.1 Эллипсоид 4
2.2 Однополостный гиперболоид5
2.3 Двуполостный гиперболоид 7
2.4 Эллиптический параболоид 8
2.5 Гиперболический параболоид 10
2.6 Конус второго порядка 12
3. Таблица уравнений поверхностей второго порядка 14
Примечание 18
Список литературы 18
Глава 1.
Определение декартовой системы координат.
Декартова система координат в пространстве, определяется точкой и базисом из трех векторов. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенные через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. В трехмерном пространстве они называются осями абсцисс, ординат и аппликат. Оси координат являются числовыми осями с началом в точке O, положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора. Координатами точки M называются координаты вектора OM (радиус–вектора) (см. рис. 1). Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат, называется прямоугольной.
Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты, которых удовлетворяют уравнению вида
в котором, по крайней мере, один из коэффициентов 
, 
, 
, 
, 
, 
отличен от нуля.
Подробная характеристика следующих поверхностей
Эллипсоид
Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
: 
(1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Оху. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z=h, где h – любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями
(2)
Исследуем уравнения (2) при различных значениях h.
1) Если 
> c (c>0), то 
и уравнения (2) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=h с данным эллипсоидом не существует.
2) Если 
, то 
и линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c) и (0; 0; - c) (плоскости 
касаются эллипсоида).
3) Если 
, то уравнения (2) можно представить в виде
откуда следует, что плоскость z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями 
и 
. При уменьшении 
значения 
и 
увеличиваются и достигают своих наибольших значений при 
, т. е. в сечении эллипсоида координатной плоскостью Oxy получается самый большой эллипс с полуосями 
и 
.
Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид является сферой
Однополосный гиперболоид
Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
(3)
Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.
Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy
(
y=0)
и
Oyx (x=0).
Получаем соответственно уравнения
и 
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy
. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями
или 
(4)
из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями 
и 
,
достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a иb*=b. При бесконечном возрастании величины a* и b* возрастают бесконечно.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.
Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.
Двуполостный гиперболоид.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
(5)
Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.
Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения
и 
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется уравнениями
или 
(6)
из которых следует, что при 
>c (c>0) плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями 
и 
. При увеличении 
величины a* и b* тоже увеличиваются.
При 
уравнениям (6) удовлетворяют координаты только двух точек: (0;0;+с) и (0;0;-с) (плоскости 
касаются данной поверхности).
При 
уравнения (6) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом не существует.
Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.
Эллиптический параболоид.
Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
(7)
где p>0 и q>0.
Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.
Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения
и 
из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.
Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями
или (8)
из которых следует, что при 
плоскость z=h пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями 
и 
. При увеличении h величины aи b тоже увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку (плоскость z=0 касается данного гиперболоида). При h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический параболоид в виде бесконечно выпуклой чаши.
Точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.
В случае p=q уравнение (8) определяет окружность с центром на оси Oz, т.е. эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением параболы вокруг её оси (параболоид вращения).
Гиперболический параболоид
Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением
(9) 
где p>0, q>0.
Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.
Рассмотрим сечение параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем уравнение
(10)
из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h), получаются так же направленные вверх параболы.
рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0).
Получаем уравнение
из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола, но теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oyz (x=h), получим уравнения
из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола, направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой уравнениями (10).
Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy. получим уравнения
или 
из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oxy; при h<0 – гиперболы, пересекающие плоскости Oyz; при h=0 – гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых
и 
точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.
Конус второго порядка
Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
(11)
Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности плоскостью Оху (y=0) получаем линию
распадающуюся на две пересекающиеся прямые
и 
Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (x=0) также получаются две пересекающиеся прямые
и 
Рассмотрим сечения поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости Оху. Получим
или 
из которых следует, что при h>0 и h<0 в сечениях получаются эллипсы с полуосями 
. При увеличении абсолютной величины h полуоси a* и b*также увеличиваются.
При h=0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку (0;0;0).
Таблица уравнений поверхностей второго порядка
Примечание:
1. Эйлер рассматривал параболический цилиндр как шестой род поверхностей второго порядка; впоследствии эту поверхность, также как цилиндр с эллиптическим и гиперболическим основанием, стали рассматривать как разновидности пяти главных родов.
2. Конус второго порядка мы рассматриваем как частный случай гиперболоидов, подобно тому, как в геометрии на плоскости две пересекающиеся прямые рассматриваются как частная или предельная форма гиперболы. Поэтому конуса в числе главных поверхностей с центром не помещают.
3. Многие свойства гиперболоида, одного из важнейших в теории поверхностей второго порядка, применяется как в начертательной геометрии, так и в искусстве.
Список литературы:
1. Аналитическая геометрия. Курс лекций: С. П. Фиников — Москва, ЛКИ, 2008 г.- 330 с.
2. Аналитическая геометрия: И. И. Привалов — Москва, Лань, 2008 г.- 304 с.
3. Дифференциальная геометрия второго порядка и приложения. Теория Мирона-Атанасиу: Г. Атанасиу, В. Балан, Н. Брынзей, М. Рахула — Санкт-Петербург, Либроком, 2010 г.- 256 с.
4. Задачи и упражнения по аналитической геометрии: О. Н. Цубербиллер — Санкт-Петербург, Лань, 2007 г.- 336 с.
5. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Д. В. Беклемишев — Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2008 г.- 312 с.
6. Локальный электрохимический анализ: В. В. Слепушкин, Ю. В. Рублинецкая — Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2010 г.- 312 с.
7. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами: Б. И. Квасов — Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2006 г.- 360 с.
8. Минимальные поверхности: — Санкт-Петербург, ФИЗМАТЛИТ, 2003 г.- 352 с
Ссылка 1
http://www.coolreferat.com/%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_2-%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0
Ссылка 2
http://tvsh2004.narod.ru/gm06.html
