Выбор и обоснование модели для исследования технологического процесса упаривания послеспиртовой барды

 

Процесс, происходящий в данной схеме, является процессом обслуживания потока сырья (раствора послеспиртовой барды с х_н = 9 – 11 % СВ) и получения готового продукта (раствора послеспиртовой барды с х_к = 34 – 36 % СВ). Полученное уравнение материального баланса устанавливает однозначное функциональное соответствие между входными переменными (начальной и конечной концентраций продукта) и выходной величиной (расход греющего пара). Эта зависимость была установлена на основании физических законов, представляющих процесс упаривания.

Таким образом, на основании полученных результатов можно предположить, что мы имеем дело с детерминированной математической моделью исследуемого процесса.

По характеру режима функционирования объекта модель будет являться статической, были приняты допущения о незначительном изменении некоторых величин во времени, поэтому будем считать их константами. Но некоторые величины (начальная (х_н) и конечная (х_к) концентрации) изменяются независимо от времени случайным образом в некотором заданном диапазоне (х_н=9–11 %, х_к=34–36 %).

На рисунке 2 представлена концептуальная модель процесса упаривания послеспиртовой барды.

 

Планирование эксперимента. Полный факторный эксперимент

 

Эксперимент проводится в целях отыскания условий протекания процессов, обеспечивающих оптимальное значении выбранного параметра (экстремальная задача), и построения интерполяционной формулы для предсказания значений изучаемого параметра, зависящего от ряда факторов (интерполяционная задача).

Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания n-уровней независимых управляемых факторов, каждый из которых варьируется на двух уровнях. Число этих комбинаций N = 2ⁿ определяет тип ПФЭ. Уровни факторов представляют собой границы исследуемой области по данному технологическому параметру.

Сущность факторного эксперимента состоит в одновременном варьировании всех факторов по определенному плану и использовании результата эксперимента для определения коэффициентов b₀, b₁, b₂, b₁₂ уравнения регрессии

 

y=b₀+b₁x_н+b₂x_к+…+b_nx_нx_к

 

где X_i – факторы (начальная и конечная концентрации i=к, н).

Введем понятие нижнего Xi_Н и верхнего Xi_В уровня фактора х_i. В данном случае X_НН=9%, Х_КН=34%, Х_НВ=11, Х_КВ=36%.

Затем выбирается интервал варьирования по каждой переменной – расстояние по данной оси от центра до экспериментальной точки.

Центр, или основной уровень плана

 

 

Интервал варьирования

 

 

Рассмотрим также понятие нулевого уровня фактора х_i. Прибавление интервала варьирования Dх_i к нулевому уровню дает верхний уровень, а вычитание - нижний. Обычно верхние и нижние уровни факторов обозначаются символами «+1» и «-1», что соответствует кодированию факторов по формуле

 

 

где x_i0 – значение в центре плана (нулевой фактор);

x_i – значение переменной величины;

Dx – значение интервала варьирования.

 

Для данного процесса Х_Н0=10%, Х_К0=35%, Dх_Н=1% и Dх_К=1%. Кодирование будет следующее Х_НВ= +1; Х_КВ= +1; Х_НН= -1; Х_КН=-1.

Кодирование факторов означает переход от системы координат в натуральных единицах к системе координат в кодированной форме. Каждая точка факторного пространства (+1; +1), (+1;-1), (-1; +1), (-1; -1) это опыт в исследованиях.

В общем случае эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания факторов, полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если каждый из n факторов варьируется на двух уровнях, то получается ПФЭ типа 2n. Запись всех комбинаций факторов в кодированной форме образует матрицу планирования.

Таблица 1 является матрицей планирования для двух факторов на двух уровнях.

В матрице приведены результаты J_j1,...,J_jm в опытах и среднее значение по i-ой строке матрицы, х₀ - столбец значений фиктивной переменной.

 

Таблица 1 – Матрица планирования

Опыт	ФП	План	Переменная состояния
	Х0	XН	ХК	ХК ХН	Yj
	+1	+1	+1	+1	Y1	0,134
	+1	+1	-1	-1	Y2	0,130
	+1	-1	+1	-1	Y3	0,145
	+1	-1	-1	+1	Y4	0,142

 

.

 

где b_J – значение коэффициентов уравнения регрессии;

m – количество опытов;

Y – значение результатов в опытах;

х – значение переменной величины.

 

Для установления зависимости выходной величины (расход греющего пара) от входных величин (начальная и конечная концентрации послеспиртовой барды) необходимо составить уравнение регрессии для выходной величины y по двум факторам

 

y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₁₂x₁x₂.

 

Для этого рассчитаем коэффициенты уравнения регрессии

 

b₀=(0,134+0,130+0,145+0,142)/4=0,138,

b₁=(0,134+0,130-0,145-0,142)/4= -0,00575,

b₂=(0,134-0,130+0,145-0,142)/4=0,00175,

b₁₂=(0,134-0,130-0,145+0,142)/4=0,00025.

 

Следовательно, искомое уравнение регрессии имеет вид

 

y=0,138-0,00575x₁+0,00175x₂+0,00025x₁x₂.

 

Конечная формула представляет собой уравнение регрессии для выходной переменной y. Она выражает зависимость выходной величины y (расход греющего пара) от 2-х факторов входной величины (начальной и конечной концентраций послеспиртовой барды).

 

Выводы

 

В данной главе схематически представлен технологический процесс, его описание, а также параметры, необходимые для исследования. Записаны уравнения материального и теплового балансов, которые описывают процессы в выпарном аппарате. Разработана математическая модель процесса упаривания послеспиртовой барды, чтобы найти количество греющего пара, поступающего в тепловую рубашку аппарата для поддержания требуемой температуры.

Выбрана и обоснована математическая модель. Разработана и описана концептуальная модель процесса упаривания послеспиртовой барды.

Проведено планирование эксперимента; полный факторный эксперимент, в результате получено уравнение регрессии.