Функции нескольких переменных

Линейная алгебра

1.1.1.

 

а) Очень простой пример. Умножь каждый элемент первой матрицы на 2, второй матрицы – на 3, затем найди разность полученных значений для каждого соответствующего элемента.

 

=

 

 

1.1.1. Это тоже простой пример. Но нудный.

Умножение матриц производится по формуле (см. http://ru.wikipedia.org/wiki/Умножение_матриц):

Это значит в данном случае надо найти матрицу

 

=

 

где,

 

=1*m+m*(-1)+(n+1)*3=3n+3

=…

 

В общем, и так далее все 6 членов из сумм трех произведений.

 

 

1.2.1

Просто вычисли определитель по формуле:

 

1.3.1. Для матрицы 2*2 формула совсем простая (http://ru.wikipedia.org/wiki/Обратная_матрица):

В твоем случае

= =

 

 

1.4.2. Метод Гаусса описан здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_Гаусса

 

В твоем случае шаги такие:

1) умножаешь первое уравнение на m, второе – на 2. Находишь разность. Ставишь вместо второго уравнения. В нем отсутствует x₁.

2) умножаешь первое уравнение на (m+n), третье – на 2. Находишь разность. Ставишь вместо третьего уравнения. В нем тоже отсутствует x₁.

3) Точно также исключаешь x₂ из третьего уравнения, находишь x₃

4) Далее последовательной подстановкой находишь x₁ и x₂

 

 

 

Дальше аккуратно сокращаешь, что сокращается, и проводишь ту же операцию для исключения x₂

 

3.2.1. Проще всего решать такие задачи, использую правило Лопиталя (http://ru.wikipedia.org/wiki/Правило_Лопиталя). То есть вместо функций в знаменатели и числители надо поставить их производные.

 

Пример (в) совсем прост. Сначала берется производная, снова получаем неопределенность 0/0

 

 

Второй раз берем производную:

 

Здесь в точке 0 уже не неопределенности

 

Имеем

 

Пример (а) чуть сложнее. Правило Лопиталя применить затруднительно. Решение прикладываю.

 

Производные функции.

Вот здесь даны основные правила дифференцирования и таблица производных http://ru.wikipedia.org/wiki/Производная_функции, http://ru.wikipedia.org/wiki/Таблица_производных

 

Это достаточно просто.

Единственный пример, где надо сделать дополнительное действие – д. Там нужно сделать потенцирование-логарифмирование, чтобы вынести показатель степени в виде множителя. Это легко забыть, поэтому прикладываю решение.

 

 

Интегральное исчисление.

Таблица интегралов дана здесь http://ru.wikipedia.org/wiki/Таблица_интегралов

 

Пример (а) тривиальный. Просто представь радикал как степень (1/2)

Пример (в) – интегрирование по частям http://ru.wikipedia.org/wiki/Интегрирование_по_частям

Там тоже все просто. Посмотри сам.

 

 

4.2.1

Прикладываю решение:

Да, забыл arctg(1)=p/4, таким образом, окончательный ответ ln(p/2) - ln(p/4)= ln(2) = 0.693

 

Функции нескольких переменных

 

Частные производные находятся так же как и обычные, принимая вторую переменную как константу.

 

Я приводу фото решения для 5.11

 

и 5.1.2