Методические указания по курсовой работе

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

 

 

Кафедра "Управление качеством и сертификация"

Планирование и организация эксперимента

Методические указания к курсовой работе

(для студентов очного отделения специальностей 220501, 200503)

 

Омск, 2007

Назначением курсовой работы является развитие навыков использова­ния теоретических знаний полученных при самостоятельной проработке отдельных разделов лекционного курса для решения практических задач. Работа выполняется по вариантам в виде разработки или написания реферата по теме и их защитой. Требования к оформлению: Контрольная работа оформляется на стандартных листах белой бумаги формата А4 (210 х 297 мм) со стандартной рамкой. Требования к вычерчиванию рамки: слева отступ 20 мм; сверху, справа и снизу – 5 мм. Первый лист оформляется как титульный. При выполнении пояснительной записки на компьютере допускается рамку не выполнять. При этом используется шрифт Times New Roman, размер – 14, интервал междустрочный – 1,5, выравнивание - по ширине страницы.

 

Тема курсовой работы:

Полный факторный эксперимент. Корреляционный, регрессионный и кластерный анализы.

2.

Рекомендуемая литература

а). Основная литература

1. Назаров Н.Г. Измерения: Планирование и обработка результатов. - М.: ИПК Издательство стандартов, 2000. - 304 с.

2. Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента. Учебное пособие. - М.: Радио и связь, 1983. - 248 с.

 

б). Дополнительная литература

1. Математическая теория планирования эксперимента, под. ред. С.М. Ермакова. - М: Наука, 1983. - 392 с.

2. Монтгомери Д.Р. Планирование эксперимента и анализ данных: перевод с английского. - Л.: Судостроение, 1980. – 384 с.

3. Журнал "Измерительная техника"

 

Методические указания по курсовой работе

На современном этапе научно-технического прогресса возрастают сложность и ответственность производства. Оно становится все более многогранным. В распоряжении инженера находятся значительные материальные, трудовые и денежные ресурсы, эффективное использование которых без научного творчества, элементарных приемов научных исследований затруднительно.

Современные инженер должен не только обладать глубокими профессиональными теоретическими и практическими знаниями, но и иметь минимум знаний в области научных исследований. Все это позволит ему самостоятельно и творчески решать различные сложные вопросы производства.

В результате выполнения курсовой научно-исследовательской работы студент должен освоить методологию и методику, планирование и организацию научных исследований. Он должен уметь отбирать и анализировать необходимую информацию по теме научного исследования, формулировать его задачи и разрабатывать теоретические предпосылки, планировать и проводить эксперимент, обрабатывать результаты измерений и оценивать погрешности наблюдения, сопоставлять результаты эксперимента с теоретическими предпосылками и формулировать выводы исследования, составлять отчет, по результатам научного исследования.

Аппарат математической статистики достаточно хорошо разработан применительно к условию, когда распределение случайной величины подчиняется закону нормального распределения. Нормальное распределение происходит при большом количестве независимых или слабо зависимых случайных величин. Подчиненность этому закону проявляется тем ярче, чем больше случайных величин действует одновременно. Основное условие формирования нормального распределения состоит в отсутствии доминирующих погрешностей среди случайных величин.

Уравнение кривой нормального распределения имеет вид

y =

Параметрами закона нормального распределения являются ₀ и х₀. Кривая закона распределения имеет колоколообразный вид, симметрична относительно оси абсцисс, проходит через точку на оси абсцисс с координатой Х = Х₀, достигает максимума в этой точке (1/ ₀ ) и асимптотически приближается к нулю при Х . Площадь под кривой, ограниченная интервалом Х_{1 2,} соответствует вероятности того, что результаты эксперимента попадут в данный интервал. В пределах 3 от Х₀ находится 99,73% площади под кривой. Поэтому на практике для нормального распределения применяют «правило трех сигм». Для закона нормального распределения на основании «правил трех сигм» поле рассеяние случайной величины составляет

= (Х_{0 +} 3 ) – (Х_{0 +} 3 ) = 6

В связи с тем, что оценивать и Х₀ можно с помощью характеристик S и выборки, практическое поле рассеяния определяют по формуле

=2tS, где

t – табличное значение коэффициента, взятое при данном объеме выборки для = 0.95 (причем t рассчитано из условия, что количество значений случайных величин, находящихся в пределах определяемого практического поля рассеяния, составляет 00,73%).

При обработке результатов экспериментов необходимо определить, какому закону они подчиняются (закону нормального распределения или какому-то другому). Как правило, проводят оценку соответствия результатов эксперимента закону нормального распределения. Существует пять методик такой проверки: 1) по среднему абсолютному отклонению (САО); 2) по размаху варьирования; 3) по показателям асимметрии и эксцесса; 4) по -критерию; 5) по критерию Колмагорова – Смирнова (критерию К-С).

Для небольших выборок (n <120) проверку соответствия закона нормального распределения проводят по САО:

Для выборки с нормальным законом распределения должно быть справедливо выражение

 

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Практические исследования в технологии машиностроения весьма часто связаны с необходимостью установления взаимосвязи между входными и выходными параметрами процесса. Для этого, в соответствии с методикой классического эксперимента, необходимо все факторы, оказывающие влияние на выходной показатель, оставить постоянными, кроме исследуемого входного параметра. Изменяя этот параметр на различных уровнях и отмечая изменения выходного показателя, можно установить интересующую нас взаимосвязь. Различают два вида связи между параметрами: функциональную и стохастическую. Функциональная связь позволяет одно значение входного параметра ставить в соответствие однозначной величине выходного параметра. Если же изменением величины аргумента другая величина (функция) изменяет свое среднее арифметическое значение, то такая связь называется стохастической, или корреляционной.

На практике возникают две основные задачи измерения связи:

1) определить форму и силу взаимосвязи между входными и выходными параметрами;

2) определить экспериментально зависимость между выходными и входными параметрами.

Первая задача решается на основе корреляционного анализа, вторая – методом регрессного анализа. Примером корреляционной связи может быть связь между погрешностью детали и заготовки. Аналитически корреляционную связь записывают в виде уравнения

= f(x), где

х – значение аргумента (например, погрешность размеров заготовки);

- среднее арифметическое значение выходного параметра (например, погрешность размеров готовой детали).

Это уравнение называется уравнением регрессии.

Оценку формы и силы связи между параметрами х и у, приведенную на основе экспериментов, выражает коэффициент корреляции r:

r = , где

х_i, y_i – значение параметров в i –м эксперименте.

Отметим некоторые свойства коэффициента корреляции r:

1) 1, или –1 1;

2) если r= 1, то это необходимое и достаточное условие для того, чтобы между х и у была линейная функциональная связь вида

у = в₀ + в₁х;

3) если r = 0, то между х и у нет линейной корреляционной связи, но криволинейная связь возможна;

4) чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем сильнее линейная корреляционная связь.

Проверка значимости коэффициента корреляции производится при помощи критерия Стьюдента, расчетное значение которого

 

t_н =

сравнивают с табличным t_т, определяемым при = 0,95 и m=n-1 (где m –параметр таблицы). Если t_н t_т, то r статистически значимо отличается от нуля. В противном случае r = 0, что означает, что между рассматриваемыми величинами нет связи либо эта связь нелинейна.

В общем случае при проведении экспериментальных исследований часто возникает необходимость в установлении связи между к независимыми неслучайными переменными Х_1, Х₂, …Х_к и зависящей от них случайной величины у. Для этого может быть использован метод наименьших квадратов, известной из регрессного анализа. В основе последнего лежат следующие гипотеза.

1. При каждом сочетании значения Х_1, Х₂, …Х_к величина у имеет нормальное распределение.

2. Дисперсия теоретического распределения случайной величины у постоянна.

3. Тип функции у = f (Х_1, Х₂, …Х_к) известен.

4. Независимы переменные Х_1, Х₂, …Х_к измеряются с пренебрежимо малыми ошибками по сравнению с ошибкой в определении у

В качестве функции отклика используется, как правило, неполная квадратичная или полином второй степени, имеющий вид

 

у = b₀ + ,

где b₀, b₁, … b_ii – коэффициент регрессионной зависимости.

Согласно методу наименьших квадратов, коэффициенты уравнения находятся исходя из условия

® min,

где у_u – значение функции отклика, полученное в u – м эксперименты,

_u – значение, рассчитанное по уравнению, при независимых переменных, соответствующих условиям проведения u – го опыта, N – количество выполненных экспериментов.

Для выполнения условия необходимо приравнять нулю частные производные по b₀, b₁, b_i, b_ij, b_j, в результате чего получится система уравнений. Ее решение относительно коэффициентов уравнения позволит их определить.

Этим определяется статистическая значимость коэффициентов регрессии и адекватности полученной модели результатам экспериментов

 

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА.

При проведение экспериментальных исследований решается одна из задач – экспериментальная или интерполяционная. Экспериментальная задача заключается в отыскании условий процесса, обеспечивающих получение оптимального значения выбранного критерия. Интерполяционная состоит в построении интерполяционной формулы для предсказания значений изучаемого параметра, зависящего от ряда факторов. Для решения указанных задач необходимо построить математическую модель исследуемого процесса или объекта Модель объекта получают, используя результаты опытов. При исследовании многофакторного процесса получение математической модели связано с огромной трудоемкостью, так как число всех возможных опытов велико. Для изучения многофакторных систем наиболее целесообразны статистические методы планирования эксперимента. Под таким планированием понимают определение количества опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Задача планирования эксперимента заключается в установлении минимально необходимого количества опытов и условий их проведения, в выборе методов математической обработки результатов опытов и в принятии решений. При этом должен быть четко сформулирован критерий исследования, имеющий количественную оценку: критерий исследования, заданный количественно, называют откликом (параметром оптимизации, зависимой переменной, функцией цели). В общем виде функция отклика может быть представлена выражением

= f (Х_1, Х₂, …Х_к) , где

Х_1, Х₂, …Х_{к –} независимые переменные факторы,

К – количество этих факторов.

Как правило, при проведении исследований вид функции отклика не известен. Поэтому исследователь вынужден ограничиться представлением ее, например, в виде полинома:

= + Х₁ + Х₂ + Х₁Х₂ + Х²₂ + Х² ₂ + …, где

, … - коэффициенты регрессии при соответствующих переменных.

По результатам эксперимента можно определить только выборочные коэффициенты регрессии , , …, которые являются лишь оценками теоретических коэффициентов регрессии , , …,. Уравнение регрессии, полученное на основании опытов и представляющее собой выборочную оценку у и функции отклика, может быть записано следующим образом:

у= + Х₁ + Х₂ + Х₁Х₂ + Х²₂ + Х² ₂ + …,

На первом этапе планирования экстремальных экспериментов достаточно описать величину у полиномом первой степени = + Х₁ + Х₂ + … + Х _к (1)

Выражения (1) достаточно, чтобы определить направление движения к оптимуму функции. Для построения модели вида (1) эксперименты проводят по плану, называемому планом первого порядка. В области оптимума функцию отклика пытаются описать либо линейной моделью, либо неполной квадратичной моделью (2), либо полиномом второй степени:

у = b₀ + (2)

При решении интерполяционной задачи функцию отклика описывают линейной моделью (1) и проверяют ее адекватность. Если модель адекватна, то исследования заканчиваются.

Предпланирование эксперимента.

Многофакторный эксперимент включает в себя ряд исследовательных этапов. Поскольку экстремальные эксперименты – наиболее общий случай планирования, далее будут рассмотрены вопросы, связанные именно с ними. Условия интерполяционных экспериментов будут оговорены особо.

1-й этап предпланирования экспериментов – определение параметра оптимизации. К данному параметру предъявляется ряд требований: возможность количественной оценки, доступность для измерений, эффективность, значимость для всех состояний исследуемого объекта, наличие физического смысла. Поясним некоторые из них: однозначность (в статистическом смысле) – заданному сочетанию уровней факторов должно соответствовать одно (с точностью до ошибки эксперимента) значение параметра оптимизации; эффективность (в статистическом смысле) – параметр оптимизации должен определяться с наибольшей точностью, что позволит сократить до минимума число параллельных опытов. Определение оптимума возможно, если выбран параметр оптимизации, а другие выступают в качестве ограничений. Однако весьма часто при решении технологических задач имеют место несколько параметров оптимизации. Например, при выполнении операции точения детали на токарном станке необходимо обеспечить минимальную себестоимость операции при максимальных производительности и стойкости режущего инструмента. В этом случае необходимо уменьшить число параметров оптимизации (лучше всего до одного).

Известно довольно много способов уменьшения количества параметров оптимизации. Рассмотрим два из них.

Суть первого состоит в определении коэффициентов корреляции между двумя параметрами на основании имеющихся экспериментальных данных. При наличии высокой корреляции между параметрами любой из них можно исключить из рассмотрения, так как он не содержит какой-либо дополнительной информации об объекте исследования, кроме полученной с помощью другого. Исключить, естественно, надо те параметры, которые труднее определить экспериментально или физический смысл которых менее ясен.

Коэффициент парной корреляции между двумя откликами у_j и у_n, полученными по результатам предварительных экспериментов, может быть подсчитан по формуле. Если коэффициент корреляции статистически значим, то у_j и у_n связаны зависимостью вида

у_{j =} b₀ + b₁ у_n,

где у_j и у_n определяются из формул

b_{1 =}

 

b₀ = у_j + b₁ у_n

;

Зависимость верна при значимых коэффициентов b₀ и b₁.

 

Суть второго способа заключается в использовании так называемой функции «желательности. Под «желательностью» понимают тот или иной желательный уровень параметра оптимизации. Значение может меняться от 0 до 1. Шкала «желательности» выглядит следующим образом:

= 0,00…0,37 – недопустимо низкий уровень качества;

= 0,37…0,60 – допустимый и достаточный уровень качества;

=0,6…0,8 – допустимый и высокий уровень качества;

=0,8…1,0 – допустимый и высший уровень качества.

Значение можно перемещать по шкале «желательности» в зависимости от конкретных ситуаций. Каждый из параметров оптимизации обычно ограничен с одной стороны (у_j y_jmin; y_j y_jmin) или с двух (y_jmin y_j y_jmах ).

2-й этап предпланирования экспериментов – определение состава варьируемых факторов. Факторы называют управляемую независимую переменную, соответствующую одному из возможных способов воздействия на объект исследования. Каждый фактор имеет область определения – совокупность всех значений, которые может принимать фактор. Область определения фактора ограничена из принципиальных или технических соображений. Например, температура закалки детали принципиально ограничена температурой плавления материала, подаче инструмента при точении детали на токарном станке технически ограничена максимальной подачей станка.

К факторам предъявляют ряд требований. Они должны быть:

а) управляемыми, т.е. позволяющими экспериментатору устанавливать требуемые значения и поддерживать их постоянными в продолжении опыта или менять по определяемому закону;

б) однозначными, т.е. непосредственно воздействующими на объект;

в) совместимыми, т.е. все комбинации значений факторов должны быть существенными и безопасными;

г) независимыми, т.е. позволяющими устанавливать требуемые значения любого фактора независимо от значений других факторов.

При экспериментальных исследованиях необходимо учитывать все существенные факторы. Если по каким-либо причинам влияние некоторых факторов невозможно учесть в эксперименте, то эти факторы должны быть стабилизированы на определенных уровнях в течение всего эксперимента. Если число факторов велико, то необходимо отсеять те факторы, которые оказывают незначительное влияние на параметр оптимизации. Отсеивание несущественных факторов проводят либо на основе априорного ранжирования, либо с помощью отсеивающих экспериментов.

3-й этап предпланирования эксперимента – определение области эксперимента исходя из априорной информации, полученной по результатам предыдущих исследований, анализа литературы или предварительных экспериментов. В области эксперимента устанавливают основные, или нулевые, уровни, а также интервалы варьирования факторов.

Основным уровнем фактора называют его значение, принятое за исходное в плане эксперимента. Основные уровни выбирают таким образом, чтобы принятому значению факторов соответствовало минимальное или максимальное значение функции, известное из априорной информации.

Интервалом варьирования фактора называют число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень фактора, а вычитание – нижний. Интервал варьирования не может быть выбран меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора, а также не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровень выходили за пределы области определения факторов. При этом следует учитывать, что увеличение интервалов варьирования затрудняет возможность линейной аппроксимации функции отклика. Формальных методов выбора нулевого уровня и интервалов варьирования не существует. Для удобства записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных уровни факторов кодируются. В кодированном виде верхний уровень обозначается +1, нижний –1, а основной 0. Кодированное значение фактора Х_i определяется по выражению

Х_{i = ,} где

- натуральное значение i –го фактора (верхнее или нижнее)

- натуральное значение i – го фактора (основного уровня)

Е_i – интервал варьирования в натуральных единицах.

 

ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом (ПФЭ). Число возможных сочетаний N:

N = m^k, где

m – число уровней факторов;

к – число факторов.

Для двух уровней (достаточно для построения линейной модели)

N = 2^k

Факторный эксперимент осуществляют с помощью матрицы планирования, в которой используют кодирование значения факторов. Для построения матрицы ПФЭ могут использоваться два способа:

1) последовательное построение матрицы. Для этого при добавлении нового фактора необходимо повторить комбинацию уровней исходного плана сначала при значении нового фактора на верхнем уровне, а затем на нижнем. Последовательное достраивание матрицы при увеличении числа факторов от 2 до 4 в табл. 1;

2) основанный на том, что у первого фактора уровни варьируются по одному, т.е. поочередно (см. табл. 1), у второго – по два, у третьего – по четыре, у пятого – по восьми и т.д. Таким образом, можно определить порядок изменения любого фактора.

Таблица 1.

Построение матрицы ПФЭ

№ опыта	Факторы
	Х1	Х2	Х3	Х4
	+	+	+	+
	-	+	+	+
	+	-	+	+
	-	-	+	+
	+	+	-	+
	-	+	-	+
	+	-	-	+
	-	-	-	+
	+	+	+	-
	-	+	+	-
	+	-	+	-
	-	-	+	-
	+	+	-	-
	-	+	-	-
	+	-	-	-
	-	-	-	-

Под числом степеней свободы в статистике понимают разность между числом опытов и количеством коэффициентов модели, вычисленных по результатам этих опытов независимо друг от друга. Например, для линейной модели число степеней свободы можно определить по формуле

f = N – (k+1),

где k – число факторов;

N – количество опытов;

f – число степеней свободы.

Коэффициент и его знак указывают на вклад данного фактора в общий результат при переходе с нулевого на верхний или нижний уровень фактора. Линейным называют эффект, характеризующий линейную зависимость параметра оптимизации от соответствующего фактора. Эффект взаимодействия характеризует совместное влияние на параметр оптимизации. Он отражает силу влияния одного из факторов, в зависимости от уровня, на котором находится другой фактор. Для ПФЭ 2³ уравнение регрессии с учетом эффектов взаимодействия можно представить выражением

у = b₀+ b₁Х₁ + b₂ Х₂ + b₃X₃ +b₁₂Х₁Х₂ + b₁₃Х₁X₃ +b₂₃X₂X₃ + b₁₂₃X₁X₂X₃,

где b_y -эффект взаимодействия факторов.

В общем случае с помощью ПФЭ можно определить все линейные эффекты и эффекты взаимодействия факторов (двойные, тройные и т.д.), причем независимо друг от друга. Общее число эффектов, включая b₀, равно 2^к. Для определения эффектов взаимодействия нужно построить расширенную матрицу ПФЭ, пример представлен в табл. 2. Спектр плана ПФЭ типа 2² или вершин куба для ПФЭ типа 2³. В общем случае точки эксперимента типа 2^кпредставляют собой вершины гиперкуба а факторном пространстве.

 

Таблица 2.

Расширенная матрица ПФЭ типа 2³

№ опыта	Факторы и их взаимодействия
	Х0	Х1	Х2	Х3	Х1Х2	Х2Х3	Х1Х2Х3
	+	+	+	+	+	+	+
	+	-	+	+	-	+	-
	+	+	-	+	-	-	-
	+	-	-	+	+	-	+
	+	+	+	-	+	-	-
	+	-	+	-	-	-	+
	+	+	-	-	-	+	+
	+	-	-	-	+	+	-

Примечание: Фактор Х₀ является фиктивной переменной, предназначенной для расчета коэффициента b₀.

 

ПРОВЕДЕНИЕ ЭКСПЕРЕМЕНТА И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТОВ

 

Каждая строка матрицы – это условие опыта. Для исключения систематических ошибок рекомендуется проводить опыты в случайной последовательности. Порядок проведения опытов можно определить, используя таблицу случайных чисел или «жеребьевку» опытов.

Для компенсации случайных погрешностей каждый опыт рекомендуется повторить n раз. Опыты, повторенные несколько раз при одних и тех же значениях факторов, называют параллельными. Под дублированием понимают постановку параллельных опытов. Число параллельных опытов определяют по условию (I). Обычно количество параллельных опытов n принимают равным двум – трем, а иногда четырем –пяти.

При проведении исследований приходится иметь дело с тремя вариантами дублирования: 1) эксперимент проведен при равномерном дублировании опытов; 2) эксперимент выполнен при неравномерном дублировании опытов; 3) эксперимент поставлен без дублирования опытов.

При равномерном дублировании все строки матрицы планирования имеют одинаковое количество параллельных опытов, в случае неравномерного дублирования – неодинаковое. Наиболее предпочтителен первый вариант проведения экспериментов. При этом эксперимент отличается повышенной точностью, а матрица обработки экспериментальных данных – простой. Характер дублирования опытов влияет на содержание матрицы обработки результатов наблюдений. Рассмотрим первый и третий варианты.

Обработка результатов экспериментов при равномерном дублировании опытов. Для каждой строки матрицы планирования по результатам параллельных опытов находят i – среднее арифметическое значение параметра оптимизации:

 

_{j = ju},

где u – номер параллельного опыта; y _ju - значение параметра оптимизации в u –м параллельном опыте j –й строки матрицы.

С целью оценки отклонения параметра оптимизации от его среднего значения для каждой строки матрицы планирования вычисляют дисперсию S опыта по данным n параллельных опытов:

S = ( _ju - _j)².

 

Ошибка S_j опыта определяется по формуле

 

S _j = + .

Из параллельных опытов (естественно, перед началом обработки) должны быть исключены резко выделяющиеся результаты по критерию U:

 

= ; = .

U сравнивают с табличной. Если или , то дисперсии неоднородны: исследуемая величина не подчиняется нормальному закону распределения. В этом случае нужно попытаться заменить Y случайной величиной g = f(Y), достаточно близко следующей закону нормального распределения.

Если дисперсии опытов однородны, то дисперсию воспроизводимости эксперимента вычисляют по выражению:

.

По результатам экспериментов вычисляют коэффициенты модели:

 

,

,

,

.

где - кодированные значения факторов i, j, h в j –м опыте.

Коэффициенты - это оценки теоретических коэффициентов … регрессии. Все расчеты произведены методом наименьших квадратов и поэтому являются наилучшими: в этом смысле, что они распределены нормально со средними значениями, равными теоретическим коэффициентам и с наименьшими возможными дисперсиями.

1)сравнением коэффициента с доверительным интегралом;

2)с помощью t –критерия Стьюдента.

Первым способом для определения доверительного интервала вычисляю дисперсию i –го коэффициента по выражению

.

Доверительный интервал находится по формуле

= , где

t_т – табличное значение критерия при принятом уровне значимости, а также при числе степеней свободы f, с которым определялось дисперсия S²_y.

При равномерном дублировании опытов число степеней свободы находится по выражению:

f = (n-1)N, где

N – количество опытов в матрице планирования, n – количество параллельных опытов.

Ошибка в определении i – го коэффициента регрессии находится по формуле

Коэффициент значим, если он больше доверительного интервала, т.е.

При проверки значимости коэффициентов вторым способом вычисляют t_p – критерий по выражению

t_p =

и сравнивают его с табличным.

Коэффициент значим, если t_p t_т для принятого уровня значимости и числа степеней свободы. Критерий Стьюдента вычисляют для каждого коэффициент регрессии. Статистически незначимые коэффициенты могут быть исключены из уравнений.

После расчета коэффициента модели и проверки их значимости определяют дисперсию S²_ag адекватности. Остаточная дисперсия, или дисперсия адекватности, характеризует рассеяние эмпирических значений относительно расчетных, определенных по найденному уравнению регрессии. Дисперсию адекватности определяют по формуле

S²_{ag =} , где

- среднее арифметическое значение параметра оптимизации в j – м опыте;

- значение параметра оптимизации, вычисленное по модели для условий j – го опыта;

f- число степеней свободы;

k^* - число оставленных коэффициентов регрессии, включая b₀.

 

Последним этапом обработки результатов эксперимента является проверка гипотезы адекватности найденной модели по F – критерию (критерию Фишера):

F_p =

Если F_p F_т (где F_{т -} табличное значение критерия Фишера), то модель адекватна. В противном случае модель не адекватна.

Обработка результатов эксперимента при отсутствии дублирования опытов.

А. Для вычисления дисперсии воспроизводимости эксперимента выполняют несколько параллельных опытов в нулевой точке (центре плана). При постановке опытов в нулевой точке все факторы находятся на нулевых уровнях. По результатам опытов в центре плана вычисляют дисперсию S²_y воспроизводимости эксперимента:

²_у = , где

n₀ – количество параллельных опытов в нулевой точке;

y_u – значение параметра оптимизации в u –м опыте;

- среднее арифметическое значение параметра оптимизации в n₀ параллельных опытах.

Б. Вычисляют коэффициенты модели:

b₀ =

b_i = ,

b_il = ,

b_ilh =

В. Проверяют статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии двумя способами:

1) сравнением абсолютной величины коэффициентов с доверительным интервалом;

2) с помощью t – критерия Стьюдента.

При проверки значимости коэффициентов первым способом для определения доверительного интервала вычисляют дисперсии коэффициентов регрессии по выражению:

, где

N – число строк в матрице планирования.

После этого считают

= ,где

t_т – табличное значение при f = n₀ – 1.

Если , то коэффициент статистической значимости отличается от нуля.

При проверки значимости коэффициентов вторым способом вычисляют критерий t_p

t_p =

Значение t_p сравнивают с t_т при f = n₀ – 1. Если t_p t_т , то коэффициент значим. Статистически незначимые коэффициенты регрессии исключаются из уравнения.

Г. Определяют дисперсию S²_ag адекватности по формуле

S²_{ag =} , где

Y_i – результат j –го опыта;

- результат, полученный на основе использования модели.

Д. Проверяют гипотезу адекватности модели по F – критерию:

F_p =

Если F_p F_т, то модель адекватна.