Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


’арактеристическое свойство множества




Ёлементы теории множеств

(ћетодическое пособие дл€ учащихс€

’ классов физико-математического профил€)

јвтор: ’омутова Ћ.ё.

ћосква

√од


Ђћножество есть многое,
мыслимое нами как единоеї.

√.  антор

ћножества и их элементы

¬ повседневной жизни посто€нно различные совокупности предметов называют одним словом. —овокупность документов называют архивом, собрание музыкантов Ц оркестром, группу лошадей Ц табуном, собрание книг Ц библиотекой и т. д.

ћатематическим пон€тием, отражающим объединение некоторых объектов, предметов или пон€тий в единую совокупность, €вл€етс€ пон€тие множества. Ёто пон€тие в математике €вл€етс€ первичным, не определ€емым, таким же, как пон€тие точки и пр€мой в геометрии, Ц к более простым пон€ти€м оно не сводитс€.

ѕриведем примеры множеств:

Ј ћножество всех людей, живущих в насто€щее врем€ на «емле.

Ј ћножество всех рыб в “ихом океане.

Ј ћножество звезд в √алактике.

Ј ћножество всех натуральных чисел.

Ј ћножество всех действительных чисел , удовлетвор€ющих условию .

Ј ћножество учащихс€ данной школы.

ѕредметы, объекты, образующие данное множество, называютс€ его элементами. Ќапример, јлександр I €вл€етс€ элементом множества российских императоров, а число 9 Ц элементом множества натуральных чисел, а число не €вл€етс€ элементом множества целых чисел.

ќбычно множества обозначаютс€ латинскими прописными буквами A, B, C, D,X,Y,W и т. д., а их элементы Ц строчными буквами a, b, c, d, x, y, w и т. д. “о обсто€тельство, что объект a €вл€етс€ элементом множества ј, записывают так: . ≈сли объект а не €вл€етс€ элементом множества ј, то пишут: .

ћножества ј и ¬ называютс€ равными, если они содержат одни и те же элементы. Ќапример, равны множества и . –авенство множеств ј и ¬ записывают в виде ј=¬.


’арактеристическое свойство множества

 

–азличают множества конечные и бесконечные.  онечным называетс€ множество, состо€щее из конечного числа элементов. —реди конечных множеств выдел€ют пустое множество, не имеющего ни одного элемента. ≈го называют пустым множеством и обозначают символом . ѕримерами пустых множеств €вл€ютс€ множество людей выше трех метров роста, множество нечетных чисел, дел€щихс€ на два, и т. д. ћножество, не €вл€ющеес€ конечным, называетс€ бесконечным множеством.

»меетс€ два существенно различных способа задани€ множества. ѕервый способ состоит в том, что множество задаетс€ указанием всех его элементов. ¬ этом случае говор€т, что множество задано перечислением всех своих элементов, или списком элементов.

ѕеречислением элементов можно задать лишь конечные множества. » даже дл€ них это не всегда легко сделать: трудно перечислить все элементы конечного множества, состо€щего из всех людей, живущих на «емле.

¬торой способ задани€ множества применим как к конечным, так и к бесконечным множествам. ќн состоит в том, указываетс€ свойство, которым обладают все элементы рассматриваемого множества и не обладают никакие другие объекты. “акое свойство называетс€ характеристическим свойством множества. ≈сли множество ј задано характеристическим свойством , то пишут:

.

Ёту запись читают так: множество ј состоит из тех и только тех элементов, которые обладают свойством –.

означает, что множество ¬ состоит из всех нечетных натуральных чисел.


ѕодмножества

 

ћножество ¬ €вл€етс€ подмножеством множества ј, если каждый элемент х из множества ¬ €вл€етс€ вместе с тем и элементом множества ј. ¬ этом случае пишут: . «десь знак €вл€етс€ знаком включени€ одного множества в другое.

–ассмотрим множества:

1) ¬ Ц множество всех четырехугольников,

2) Ц множество всех параллелограммов,

3) D Ц множество всех пр€моугольников,

4) Ц множество всех квадратов.

¬ смысле множества фигура каждого следующего типа €вл€етс€ частным случаем фигуры предыдущего типа (параллелограмм Ц частный случай четырехугольника, пр€моугольник Ц параллелограмма, квадрат Ц пр€моугольника). Ёто означает, что каждое следующее множество €вл€етс€ подмножеством предыдущего. ѕоэтому

.

ƒл€ иллюстрации соотношени€ между множествами пользуютс€ схемами, называемыми диаграммами Ёйлера Ц ¬енна, на которых множества изображаютс€ овалами, в частности кругами.

Ћеонард Ёйлер (1707 Ц 1783) Ц один из величайших математиков {VIII в., швейцарец; ƒж. ¬енн (1834 Ц 1923) Ц английский математик.

Ќа рисунке 1 с помощью кругов показано соотношение между множествами B, —, D, ≈.

 
 


–ис. 1

 


ќперации над множествами

 

ѕересечение множеств

≈сли даны два множества, то можно образовать новое множество, составленное из общих элементов этих множеств. Ќапример, общей частью множеств будет множество , которое называют пересечением множеств ј и ¬.

 

ќпределение. ѕересечением множеств ј и ¬ называетс€ новое множество, содержащее те и только те элементы, которые вход€т одновременно и в множество ј, и в множество ¬.

 

ѕересечение множеств ј и ¬ обозначают :

.

Ќапример, если ј Ц множество всех пр€моугольников, ¬ Ц множество всех ромбов, то Ц множество всех квадратов.

√еометрическую иллюстрацию операции пересечени€ множеств ј и ¬ дают диаграммы Ёйлера Ц ¬енна (рис. 2).

 

 

а) б)

–ис. 2

 

Ќа рисунке 2,а заштриховано множество , на рисунке 2,б множества ј и ¬ не пересекаютс€, т. е. .

ќпераци€ пересечени€ множеств примен€етс€ там, где требуетс€ найти элементы, удовлетвор€ющие сразу двум услови€м. Ќапример, множество натуральных чисел, кратных 15, Ц это пересечение множества натуральных чисел, кратных 3, и множества натуральных чисел, кратных 5, т. е.

.

ќбъединение множеств

»з двух множеств ј и ¬ можно образовать новое множество, объедин€€ все элементы множества ј и все элементы множества ¬. Ќапример, объедин€€ элементы множества с элементами множества , получим новое множество , которое называют объединением множеств ј и ¬. ѕри этом общие элементы 3 и 5 вход€т в объединение один раз.

 

 

ќпределение. ќбъединением множеств ј и ¬ называетс€ новое множество, состо€щее из тех и только тех элементов, которые вход€т хот€ бы в одно из множеств ј или в множество ¬.

 

ќбъединение множеств ј и ¬ обозначают :

.

 

а) б)

–ис. 3.

 

ƒиаграммы Ёйлера Ц ¬енна, соответствующие операции объединени€ множеств ј и ¬, построены на рисунке 3. Ќа них заштрихованы множества .

–азность множеств

ќпределение. –азностью двух множеств ј и ¬ называют такое множество, в которое вход€т элементы из множества ј, не принадлежащие множеству ¬.

 

–азность множеств ј и ¬ обозначают ј/¬. ƒиаграммы Ёйлера Ц ¬енна, соответствующие операции вычитани€ множеств ј и ¬, построены на рисунке 4. Ќа нем заштрихованы множества ј/¬. ≈сли ј=¬, то ј/¬= .

ј

 

а) б) в)

–ис. 4.

 

¬ случае, когда ¬ есть подмножество множества ј, разность ј/¬ называют дополнением множества ¬ в множестве ј и обозначают . Ќапример, дополнением множества четных чисел в множестве всех целых чисел €вл€етс€ множество нечетных чисел.


 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-07-29; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 20947 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—тремитесь не к успеху, а к ценност€м, которые он дает © јльберт Ёйнштейн
==> читать все изречени€...

496 - | 506 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.018 с.