Дифференцирование ФКП. Аналитические функции

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ФКП)

Комплексные числа и операции над ними

Комплексным числом называется пара действительных чисел , записанных в определенном порядке: . Множество комплексных чисел будем обозначать . Одним из обозначений служит запись вида

,

называемая алгебраической формой записи комплексного числа . В этой записи называется действительной, - мнимой частями комплексного числа (для этого употребляется также запись , ); называется «мнимой единицей»: . Тригонометрическая форма записи комплексного числа имеет вид:

.

Здесь величина называется модулем комплексного числа; аргумент комплексного числа определяется из равенств , . Главное значение аргумента комплексного числа заключено в промежутке и вычисляется по формуле

Показательная форма записи комплексного числа

.

Арифметические действия над комплексными числами:

Равенство комплексных чисел если .

Сложение .

Вычитание .

Умножение ,

в тригонометрической форме:

.

Деление , ,

в тригонометрической форме:

.

Сложение и умножение комплексных чисел подчиняются законам:

1. (коммутативность сложения);

2. (ассоциативность сложения);

3. (коммутативность умножения);

4. (ассоциативность умножения);

5. (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Определение. Комплексное число называется сопряженным комплексному числу .

Свойства операции сопряжения:

 

1) 2)

3) 4) 5)

Вычисление корня из комплексного числа:

,

. Здесь - модуль комплексного числа .Корни расположены на комплексной плоскости в вершинах правильного -угольника, вписанный в окружность радиуса с центром в точке .

Возведение в степень. Формула Муавра.

.

Элементарные функции комплексного переменного

Определение. В области определена функция комплексного переменного : , если поставлено в соответствие одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений . Пусть . Тогда

.

Функция комплексного переменного не имеет графика: она соответствует заданию двух действительных функций переменных и :

, .

Геометрический смысл ее состоит в осуществлении отображения точек комплексной плоскости на соответствующие точки комплексной плоскости .

Показательная функция :

.

Тригонометрические функции и :

;

.

Справедливы формулы Эйлера:

.

Тригонометрические функции и :

; .

Гиперболические функции ,…, :

; ;

; .

Имеют место соотношения:

Логарифмическая функция :

Обратные тригонометрические функции:

Обратные гиперболические функции:

Общая степенная функция и общая показательная функция :

Дифференцирование ФКП. Аналитические функции

Определение. Однозначная функция называется дифференцируемой в точке , если существует предел

, .

Этот предел называется производной функции в точке . Обозначается , .

Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы функции и были дифференцируемы в этой точке и выполнялись условия Коши-Римана (д’Аламбера-Эйлера)

.

Определение. Функция называется аналитической в данной точке , если она дифференцируема как в самой точке , так и в некоторой ее окрестности.

Определение. Функция называется аналитической в области , если она аналитическая в каждой точке данной области.

Формулы дифференцирования ФКП аналогичны соответствующим формулам дифференцирования функций действительной переменной.