Вычисление площадей плоских фигур.
1.f(x)>=0 "xÎ[a,b],то aòbf(x)dx=S
2.S=aòcf(x)dx+còbf(x)dx=aòbf(x)dx
3.S=aòbf2(x)-aòbf1(x)dx=aòb[f2(x)-f1(x)]dx
4.частный случай:
Y=f1(x)
Y=f2(x)
5.S=aòb[f2(x)+|AB|-f1(x)-|AB|]dx=aòb[f2(x)-f1(x)]dx
Вычисление длины дуги кривой.
Пусть дана кривая y=f(x) на [a;b], f(x)-непрерывна на [a;b].Требуется найти длину этой кривой.
Заменяем прямую вписанной ломаной.
Разобьем кривую точками на n частей. Абциссы этих точек дают разбиение Т:a=x0<x1<..<xi-1<xi<..<xn=b
Длина отрезка [Mi-1Mi]по теореме Пифагора:∆li=Ö(xi-xi-1)2+(yi-yi-1)2=Ö∆x2i-∆y2i=Ö1+(∆yi/∆xi)2∆xi
Длина всей ломаной АВ равна:
L= 
i
Для приведения l к интегральной сумме sf(fi;x)применим х в формулу Лагранжа: ∆y=f/(x;∆x)
∆yi/∆xi=f/(xi)=y/(xi)n, xiÎ[xi-1;xi]
L=sт(fi,xi)= 
i
l-max∆x
L= 
i
L=aòbÖ1+(y/)2dx,y=y(x) или y=f(x)
Пусть плоская кривая задана параметрически уравнениями:
x=x(t),y=y(t),где tÎ[t1,t2]
x=x(t) x=a,t=t1
dx=x/(t)dt x=b,t=t2
y/=y/t/x/t
подставляем в формулу:
l=aòbÖ1+(y/x)dx=aòbÖ1+(y/t)2/(x/t)2*x/tdt=
=t1òt2Ö((x/t)2+(y/t))/x/t*x/tdt=t1òt2Ö(x/t)2+
+(y/t)2
l=t1òt2Ö(x/t)2+(y/t)2dt, x=x(t)
y=y(t),tÎ[t1,t2]
Для кривой в пространстве:
l=t1òt2Ö(x/t)2+(y/t)2dt, x=x(t)
y=y(t),tÎ[t1,t2]
Кривая,заданная в полярных координатах:
Формулы перехода: x=rcosj
y=rsinj
пусть кривая на плоскости описывается уравнениями,заданными в полярной системе координат:r=r(j),α£j<β
будем рассматривать такую кривую,как кривую,заданную параметрически с параметром t=j,тогда l=αòβÖ(x/j)2+(y/j)2dj
вместо x и y подставим формулы перехода: x=r(j)cosj
y=r(j)sinj
x/j=r/(j)cosj-r(j)sinj
y/j=r/(j)sinj+r(j)cosj
(x/j)2=(r/cosj-rsinj)2=(r/)2cos2j- 2r/cosjsinj+sin2j*r2
+ (y/j)2=(r/sinj-rcosj)2=(r/)2sin2j-2r/sinjcosj+cos2j*r2
(x/j)2+(y/j)2=(r/)2+r2,подставляем в формулу длины:
l=αòβÖ(r/)2+r2dj, r=r(j)
jÎ[α;β]
Формулы дифференциалов длины дуги кривой.
Если y=y(x),то dl=Ö1+(y/)2dx
x=x(t)
y=y(t) ` dl=Ö(x/t)2+(y/t)2dt
x=x(t)
y=y(y)
z=z(t) dl=Ö(x/t)2+(y/t)2+(z/t)2dt
r=r(j), dl=Ö(r/)2+r2dj
Вычисление объема тел.
Пусть тело ограничено с торцов плоскостями x=a и x=b и пусть известна площадь сечения тела плоскостями, перпендикулярной оси ОХ в любой точке хÎ[a;b] S(x):
1.разобъем [a;b] точками на n частей
2.на каждом отрезке ∆i разбиения выберем произвольную точку xiÎ∆i
3.через xi проведем плоскость x=xi^OX и вычислим площадь сечения S(xi)
4.на каждом отрезке ∆I заменяем тело прямым круговым цилиндром,объем которого ∆Vi=S(xi)*∆xi
sт=(S, xi)= 
= 
V=aòbS(x)dx
Частный случай:объем тела вращения,т.е. тело,образрванного вращением кривой y=y(x) a£x£b вокруг оси ОХ
S(x)=py2(x)
V=paòby2(x)dx
Определение двойного интеграла.
Число I называется двойным интегралом от f(x,y) на Di,если для любого e>0 существует такое d(e)>0,что для любого разбиения Т обл.D такого,что l<d(e),и для любой выборки x,справедливо неравенство:
|sт(f,x)-I|<e
Обозначим: òDòf(x,y)dS=òDòf(x,y)dxdy=I
Кратко:I= 
Св-ва двойного интеграла:
1.Линейности: если существует двойной интеграл от ф-ции af1(x,y)+bf2(x,y) на обл.D,то
òDò(af1(x,y)+bf2(x,y))dS=aòDòf1(x,y)dS+bòDòf2(x,y)dS,где a и b-постоянные.
2.Разбиения области:если D=D1ÈD2,D1Ç=Æ,то
òDòf(x,y)dS=òD1òf(x,y)dS+òD2òf(x,y)dS
3.Если "(x,y)ÎD,f1(x,y)≥f2(x,y),то
òDòf1(x,y)dS≥òDòf2(x,y)dS
4.| òDòf(x,y)dS|£òDò|f(x,y)dS
5.Теорема о среднем:если f(x,y)-определена и непрерывна в D,то существует такая точка MÎD,что
òDòf(x,y)dS=f(M)S,где S-площадь D
