Методы выбора формы трендовой модели

Для отображения основной тенденции развития явлений во времени или модели этого процесса применяются полиномы разной степени, экспоненты, логистические кривые и другие функции.

Полиномы имеют следующий вид:

полином первой степени ,

полином второй степени ,

полином n-й степени .

Наиболее простым путем решения проблемы выбора формы трендовой модели можно назвать графический, на базе общей конфигурации графика фактических уровней ряда. Однако при этом подходе риск ошибочного выбора кривой очень велик. Разные специалисты, исходя из одного и того же графика, могут прийти к разным заключениям по поводу формы уравнения. Правильность выбора уравнения в некоторой мере зависит от масштаба графика. Однако в несложных случаях подход графического выбора может дать вполне приемлемые результаты.

Подбор класса выравнивающих кривых для временного ряда производится на основе качественного анализа представленного им процесса, а также если известны:

Δ¹, Δ², Δ³…….Δⁱ – первые, вторые, третьи и т.д. разности или абсолютные ускорения;

Tp_Δ′ – темпы роста первых абсолютных приростов уровней;

Δ′ lgy_i – первые абсолютные приросты логарифмов уровней;

Т_р – темпы роста.

В этих случаях критерии выбора типа кривой следующие

Критерии выбора класса выравнивающих кривых

Показатель	Изменение уровней временного ряда	Формула уравнения	Наименование функции
Δ′	более или менее постоянные		линейная
Δ′	уменьшающиеся		гиперболическая
Δ′	изменяющиеся с насыщением (быстрое развитие в начале ряда, затихание в последнем уровне)		логистическая
Δ′′	постоянны		параболическая 2-ой степени
Δ′′′	постоянны		параболическая 3-ой степени
Δ′′′′	постоянны		параболическая 4-ой степени
TpΔ1	постоянны		экспоненциальная
TpΔ′	сначала быстро растут, а затем рост изменяется		полулогарифмическая парабола
Δ′ lgyi	изменяется с постоянным темпом роста		кривая Гомперца

Для полиномиальных моделей характерно отсутствие прямой связи между абсолютными приростами и приростами уровней рядов динамики.

Предполагаемой функцией, отражающей процесс роста явления, может быть и экспонента . Экспоненты характеризуют прирост, зависящий от величины основания функции. Прологарифмировав левую и правую части, найдем , то есть логарифмическую кривую. После замены и получим уравнение, , из которого видно, что логарифм ординаты линейно зависит от t.

Свойства процесса должны соответствовать свойствам функций, используемых для построения моделей. Отдельные уравнения выражают определенный тип динамики.

Монотонное возрастание или убывание процесса характеризуют функции: – линейная; – параболическая; – степенная; – экспоненциальная простая (показательная) и производная от нее логарифмическая линейная; – сложная экспоненциальная и производная от нее логарифмическая парабола; – гиперболическая (главным образом убывающих процессов); – комбинация их видов.

Для моделирования динамических рядов, которые характеризуются стремлением к некоторой предельной величине, насыщением, применяются логистические функции:

или , е – основание натуральных логарифмов.

Логистическая кривая симметрична относительно точки перегиба и при −∞=t стремится к нулю, а при +∞=t стремится к некоторой постоянной величине, к которой кривая асимптотически приближается. Если найти вторую производную от y_t по t и приравнять ее к нулю, то для логистической кривой, выражаемой через е, место положения точки перегиба кривой равно: t = lga₁: a₀; = n: 2.

Тип процессов, характеризующихся наличием экстремальных значений, описывается кривой Гомперца, имеющей следующее выражение:

Возможны четыре варианта этой кривой. Для экономистов наибольшее значение имеет кривая, у которой lga₀ < 0 и a₁ < 1. Развитие уровня такой кривой имеет следующие этапы: если коэффициент a₁ меньше единицы при отрицательном значении lga₀, то на первом этапе прирост кривой незначителен. Он медленно увеличивается по мере роста t, но на следующем этапе прирост увеличивается быстрее, а затем, после точки перегиба, прирост начинает уменьшаться; подойдя к линии асимптоты, прирост кривой опять незначителен.

Прологарифмировав функцию Гомперца, получим:

При выборе формы тренда наряду с теоретическим анализом закономерностей развития изучаемого явления используются эмпирические методы, такие как:

− метод разностного исчисления (суть: определяются последовательные разности – цепные, абсолютные приросты - Δ′ равны, а Δ′′ (отклонения м/у последовательными значениями цепных абс приростов) = 0, линейный тренд)

− расчет и анализ средней квадратической ошибки;

, k − число параметров уравнения.

Чем меньше значение средней квадратической ошибки, тем функция наилучшим образом описывает тенденцию исходного временного ряда.

- Критерий наименьшей суммы квадратов отклонений эмпирических уровней от теоретических → min также предполагает, что наилучшим образом тенденция описывается трендом, которому соответствует наименьшее значение суммы квадратов отклонений.

- Дисперсионный метод анализа основывается на сравнении дисперсий. Преимущество: знаем вероятность ошибки.

Суть метода в следующем: общая вариация временного ряда делится на две части:

• вариация вследствие тенденции V _f(t);

• случайная вариация V _ε:

V _общ = V _f(t) + V _ε

Общая вариация определяется как сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней ряда () от среднего уровня исходного временного ряда: .

Случайная вариация − это сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней () от теоретических полученных по уравнению тренда (), и определяется: ,

Вариация вследствие тенденции определяется как разность общей и случайной вариаций из выражения вида: V _f(t) = V _общ – V _ε.

На основе рассмотренных показателей вариации определяются следующие виды дисперсии:

- общая дисперсия: ;

- диспер. случ. компоненты: ,k − число парам. уравн. тренда.

- дисперсия тенденции: .

Выдвигается и проверяется гипотеза о том, подходит ли рассматриваемое уравнение тренда для описания тенденции исходного временного ряда. Гипотеза проверяется на основе F-критерия Фишера-Снедекора, расчетное значение которого определяется по слдующей формуле:

, если > Критическое значение критерия определяется по таблице табулированных значений (приложение) следующим образом:

Если F_p > F_кр при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы (ν₁ =k – 1, ν₂ = n – k), то уравнение тренда подходит для отражения тенденции исходного временного ряда. Анализ необходимо начинать с более простого уравнения к сложным, пока не подойдет. > , уравнение тренда не подходит под описание тенденции;

СКО: = , к – число параметров уравнения, дисперсию нельзя суммировать,

- > min – критерий минимизации суммы СКО

Важную роль при выборе трендовой модели играет оценка случайной компоненты. Оценить случайную компоненту можно с помощью критерия серий, основанным на медиане выборки. А также с помощью критерия «восходящих» и «нисходящих» серий.

Выдвигается гипотеза Н0: о случайности выборки и подтверждается, если выполняются следующие неравенства (уровень значимость альфа=0,05)

1. Для критерия серий, основанным на медиане выборки.

2. Для критерия «восходящих» и «нисходящих» серий.

Если хотя бы одно из неравенств не выполняется, то гипотеза о случайном характере отклонений уровней временного ряда от тренда отвергается.

Отдельно взятый критерий или метод при выборе формы тренда не обеспечивает правильность ее выбора. Необходим обязательно учет специфики объекта исследования, методов прогнозирования и оценки точности и надежности получаемых прогнозов.

содержание