Лекции.Орг


Поиск:




Связь случайных процессов и дифференциальных уравнений




История рождения метода Монте-Карло

Метод Монте-Карло (методы Монте-Карло) — общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций случайного (стохастического) процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи. Используется для решения задач в областях физики, математики, экономики, оптимизации, теории управления и др.

Алгоритм Буффона для определения числа Пи

Случайные величины использовались для решения различных прикладных задач достаточно давно. Примером может служить способ определения числа Пи, который был предложен Буффоном еще в 1777 году. Суть метода была в бросании иглы длиной N на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, расположенными на расстоянии d друг от друга (см. Рис. 1).

рис.1. Метод Буффона

Вероятность того, что отрезок пересечет прямую связана с числом Пи:

, где

  • A — расстояние от начала иглы до ближайшей к ней прямой;
  • θ — угол иглы относительно прямых.

Этот интеграл просто взять: (при условии, что d > L), поэтому подсчитав долю отрезков, пересекающих прямые, можно приближенно определить это число. При увеличении количества попыток точность получаемого результата будет увеличиваться.

В 1864 году капитан Фокс, выздоравливая после ранения, чтобы как-то занять себя, реализовал эксперимент по бросанию иглы. Результаты представлены в следующей таблице:

 

  Число бросаний Число пересечений Длина иглы Расстояние между прямыми Вращение плоскости Значение Пи
Первая попытка         отсутствует 3.1780
Вторая попытка         присутствует 3.1423
Третья попытка         присутствует 3.1416

 

Комментарии:

  • Вращение плоскости применялось (и как показывают результаты — успешно) для того, чтобы уменьшить систематическую ошибку.
  • В третьей попытке длина иглы была больше расстояния между линиями, что позволило не увеличивая числа бросаний эффективно увеличить число событий и повысить точность.

Связь случайных процессов и дифференциальных уравнений

Создание математического аппарата случайных методов началось в конце 19го века. В 1899 году лорд Релей показал, что одномерное случайное блуждание на бесконечной решетке может давать приближенное решение параболического дифференциального уравнения. Колмогоров в 1931 году дал большой толчок развитию случайных подходов к решению различных математических задач, поскольку он сумел доказать, что цепи Маркова связаны с некоторыми интегро-дифференциальными уравнениями. В 1933 году Петровский показал, что случайное блуждание, образующее Марковскую цепь асимптотически связано с решением эллиптического дифференциального уравнения в частных производных. После этих открытий стало понятно, что, случайные процессы можно описывать дифференциальными уравнениями и, соответственно, исследовать при помощи хорошо на тот момент разработанных математических методов решения этих уравнений.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-07-29; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 582 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Велико ли, мало ли дело, его надо делать. © Неизвестно
==> читать все изречения...

998 - | 762 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.