Система с базисом, общий случай m уравнений, n неизвеcтных

Системой m линейных уравнений с n неизвестным и называется система вида где a_ij и b_i (i =1,…, m; b =1,…, n) – некоторые известные числа, а x₁,…,x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b₁,…,b_m называются свободными членами. Совокупность n чисел c₁,…,c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих неизвестных x₁,…,x_n.

Могут возникнуть три ситуации:

1. Система может иметь единственное решение.

2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.

3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x₁ + x₂ равнялосьбыодновременнонулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных переменных. Общимрешением разрешеннойсистемыуравненийназываетсясовокупностьвыраженийразрешенныхнеизвестныхчерезсвободныечлены и свободные неизвестные. Частным решением системы уравнений называется решение, получающиеся из общего при конкретных значениях свободных переменных и неизвестных.

Билет 18. Метод Жордана-Гаусса решения систем

Процесс решения системы уравнений методом Жордана - Гаусса, состоит из двух этапов. На первом этапе система приводится к ступенчатому виду, путемпоследовательногоисключенияпеременных.Навторомэтаперешениямыбудемпоследовательнонаходитьпеременныеизполучившейсяступенчатойсистемы.

1. Выбирается первая колонка слева, в которой есть хоть одно отличное от нуля значение.

2. Если самое верхнее число в этой колонке есть нуль, то меняется вся первая строка матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.

3. Все элементы первой строки делятся на верхний элемент выбранной колонки.

4. Из оставшихся строк вычитается первая строка, умноженная на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) нуль.

Далее проводим такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.

5. После повторения этой процедуры n-1 раз получаем верхнюю треугольную матрицу

6. Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.

Повторяем предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получаем единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).