Система 
линейных уравнений с 
переменными имеет вид: 
, где 
- произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.
Решением системы называется такая совокупность чисел (
, 
, …, 
), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.
Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Система линейных уравнений с переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид: 
.
Определение. Система линейно независимых решений 
называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений .
Теорема. Если ранг 
матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнении меньше числа переменных , то всякая фундаментальная система решений состоит из 
решений.
Минор, алгебраичекоедопонение, ранг, их применение
Миноры и алгебраические дополнения. Теорема разложения.
Пусть имеем определитель третьего порядка: 
.
Минором, соответствующим данному элементу aij определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i -ой строки и j -го столбца. Миноры соответствующие данному элементу aij будем обозначать Mij.
Например, минором M12, соответствующим элементу a12, будет определитель 
, который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой строки и 2-го столбца.
 .
| (1) |
Таким образом, формула, определяющая определитель третьего порядка, показывает, что этот определитель равен сумме произведений элементов 1-ой строки на соответствующие им миноры; при этом минор, соответствующий элементу a12, берётся со знаком “–”, т.е. можно записать, что
Аналогично можно ввести определения миноров для определителей второго порядка и высших порядков.
Введём ещё одно понятие.
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его минор Mij, умноженный на (–1)i+j.
Алгебраическое дополнение элемента aij обозначается Aij.
Из определения получаем, что связь между алгебраическим дополнением элемента и его минором выражается равенством Aij = (–1)i+j Mij.
ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
