Пример выполнения контрольной работы

 

1. Разложить многочлены по степеням х–2: .

Решение:

1) Разделим исходный многочлен на двучлен х–2 с помощью схемы Горнера. Получим: .

Далее, неполное частное снова разделим на двучлен х–2 с помощью схемы Горнера. Получим:

.

Наконец, разделив новое неполное частное на двучлен х–2, получим .

Таким образом, получаем:

Результаты последовательного применения схемы Горнера приведены в таблице:

 

		–2		–1
		4·2–2=6	6·2+5=17	17·2-1=33
		4·2+6=14	14·2+17=45
		4·2+14=22

Ответ:

 

2. Освободиться от иррациональности в знаменателе:

Решение:

Число есть значение многочлена при . Найдем многочлен, корнем которого является . Это, очевидно, многочлен . Применим к f(х) и р(х) алгоритм Евклида:

 

–2

Эти многочлены взаимно просты, следовательно, существуют многочлены u(х) и v(х), такие, что . Полагая в этом равенстве , будем иметь: или - искомое представление для знаменателя дроби.

Найдем u(х) и v(х).

; .

Отсюда где , а .

Полагая в последнем равенстве , находим:

Раскрывая скобки во втором сомножителе, получаем:

или

.

Окончательно получаем:

Ответ:

 

3. Отделить кратные множители многочлена

Решение:

Найдем производную многочлена f(х):

.

С помощью алгоритма Евклида найдем НОД многочлена и его производной.

1)

 

=

 

2)

		: 400
	=

3)

 

Таким образом, последний, отличный от нуля остаток и есть наибольший общий делитель многочлена и его производной:

Следовательно, многочлен f(х) имеет 2 корня 2-й кратности: и .

Разделим многочлен f(х) с помощью схемы Горнера на и :

				–14	–20	–8
–1			–2	–12	–8
–1			–4	–8
–2			–4
–2		–2

Окончательно получаем:

Ответ: многочлен f(х) имеет 2 кратных корня ( и ) и один простой корень ().

 

4. а) Решить уравнение 3-й степени, используя формулы Кардано: .

Решение: освободимся от квадрата неизвестного, чтобы использовать формулы Кардано. Для этого введем новую переменную: . Отсюда . С помощью схемы Горнера разложим левую часть по степеням :

–2			–2
–2			–6
–2
–2

Получим неполное кубическое уравнение .

Корни этого уравнения находятся по формулам Кардано:

, где ,

.

Подставляем в формулы , . Получаем:

Так как u и v – различные действительные числа, то уравнение имеет 1 действительный и 2 комплексно сопряженных корня.

.

.

Так как , окончательно получаем:

, ,

.

Ответ: , ,

 

4. б) Решить уравнение 4-й степени методом Феррари: .

Решение: Левую часть уравнений представим в виде разности квадратов некоторого трехчлена и двучлена. Для этого будем считать квадратом 1-го члена трехчлена, – удвоенное произведение 1-го члена на 2-й и введем новую переменную λ в качестве 3-го члена:

. Правая часть этого уравнения является квадратным трехчленом относительно переменной х. Подберем λ так, чтобы правая часть являлась полным квадратом. Для этого его дискриминант должен быть равен нулю:

.

Полученное уравнение называется кубической резольвентой данного уравнения 4-й степени. Для его решения достаточно найти один корень резольвенты. Преобразуя ее, получаем:

, . Подставим в уравнение: ;

;

;

;

.

Решая квадратные уравнения и ,

Получаем корни: и .

Ответ: , , , .

 

5. Найти рациональные корни многочлена

Решение: так как многочлен не является нормированным, то он может иметь дробные корни, числители которых являются делителями свободного члена, а знаменатели – делителями старшего коэффициента. Таким образом, все рациональные корни многочлена можно искать среди чисел

С помощью схемы Горнера найдем значения многочлена при :

		–34		–17	–6		–6
		–10		–3	–9
–1		–58		–99		–76

Используем тот факт, что если дробь является корнем многочлена , то и – целые числа. Проверим это условие для выписанных чисел. Результаты запишем в таблицу:

	ц	д	ц	д	д	д	ц	д	ц	д
	д		д				д		ц

 

	ц	д	ц	д	д	д	ц	д	д	д
	д		ц				ц

 

	д	д	д	д	д	д	д	д

 

Рациональные корни следует искать среди чисел , и . Сделаем это с помощью схемы Горнера:

 

 

		–34		–17	–6		–6
		–18		–9	–12
					–12

Таким образом, многочлен имеет 2 рациональных корня: и .

Ответ: рациональными корнями многочлена являются числа и .

6. Выразить многочлен

через основные симметрические многочлены.

Решение. Представим данный симметрический многочлен в виде суммы симметрических многочленов: и каждое слагаемое выразим через основные симметрические многочлены.

1) Составим таблицу для первого слагаемого:

Системы показателей	Возможные высшие члены многочлена	Соответствующие произведения основных симметрических многочленов
3 0 0
2 1 0
1 1 1

Здесь ; ; – основные симметрические многочлены.

Из данной таблицы получаем тождество: с неопределенными коэффициентами А и В. Для нахождения этих коэффициентов будем подставлять в полученное тождество различные числовые значения переменных . При этом удобнее подставлять такие значения, при которых некоторые из многочленов обращаются в 0. Эти вычисления также оформим в виде таблицы:

х1	х2	х3	σ1	σ2	σ3	f(х)	φ(σ)	f(х)= φ(σ)
							8+2А	8+2А=2
		–2		–3	–2	–6	–8В	–8В=–6

Получаем систему уравнений относительно неизвестных А и В:

Решив ее, получим А=–3, В=3.

Значит,

2) Составим таблицу для второго слагаемого:

Системы показателей	Возможные высшие члены многочлена	Соответствующие произведения основных симметрических многочленов
2 2 0
2 1 1

Из данной таблицы получаем тождество: с неопределенным коэффициентом А. Для нахождения этого коэффициента составим таблицу:

х1	х2	х3	σ1	σ2	σ3	f(х)	φ(σ)	f(х)= φ(σ)
–1					–4		–12А	–12А=24

Получаем А=–2.

Значит,

3) Окончательно получаем:

= =

Ответ:

.

 

7. Найти значение симметрического многочлена от корней уравнения :

Решение: Выразим симметрический многочлен через основные симметрические многочлены. Нетрудно заметить, что . Выразим через основные симметрические многочлены первое слагаемое.

 

Системы показателей	Возможные высшие члены многочлена	Соответствующие произведения основных симметрических многочленов
2 1 0
1 1 1

Из таблицы получаем тождество: с неопределенным коэффициентом А. Для его нахождения подставим в полученное тождество числовые значения переменных .

х1	х2	х3	σ1	σ2	σ3	f(х)	φ(σ)	f(х)= φ(σ)
		–2		–3	–2		–2А	–2А=6

Отсюда получаем А=–3, т.е. , поэтому .

Для вычисления значения этого многочлена от корней данного уравнения , воспользуемся формулами Виета при п =3: , , .

Окончательно получаем: .

Ответ: значение многочлена значение симметрического многочлена от корней уравнения

равно –5.

 

8. Решить систему уравнений, сведя ее к симметрической введением новой переменной:

Решение. Сделаем замену . Тогда данная система запишется в виде (1) – система двух симметрических уравнений. Обозначим , . Так как , то система (1) может быть записана в виде (2) .

Последовательно решая эту систему, будем иметь:

 

Возвращаясь к исходным переменным, получим:

 

Учитывая сделанную замену , окончательно имеем

Ответ: данная система имеет 2 решения: (2;0) и (0;–2).

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА