Производная функции и ее геометрический смысл.
Приращением арг. ∆x наз.разность x-x0,т.е. ∆x=x- x0
Приращением функции y =f(x) в точке x0 называется разность
Δу=f(x)-f(x0)
Производной от функции y=f(x) в точке х0 наз. Предел отношения Δу/Δх, когда Δх→0 (при усл., что этот предел существует)lim Δу/Δх= f’(x0
Δх→0
обозначение производной.y’(x),f’(x)
Геометрический смысл производной.
Пусть Г- график функции y=f(x). Рассмотрим на Г т. А(x0,f(x0)) и т. В (x0+Δx,f(x0+Δx))
В
С
y=f(x) А
Прямая АВ называется секущей. Будем считать, что y=f(x)-непрерывная функция, тогда если Δх→0, то f(x0+Δx)→f(x0), т.е. В→А при Δх→0.
Пусть фи – угол наклона секущей относительно оси ОХ. Если существует предел lim γ=γ0 при Δх→0, то прямая, проходящая через А и образующая с осью ОХ угол γ0, называется касательной к Г в точке А.
Пусть С(f(x0+Δх), f(x0)) – точка, дополняющая отрезок АВ до прямоуг. треугольника АВС. Т.к. АС//ОХ, то tgγ =Δу/Δх. Переходя к пределу, получим: tgγ0=f′(x0)
Т.е. геометрический смысл производной состоит в том, что f′(x0) – это тангенс угла наклона касательной к графику y=f(x) в точке (x0,f(x0)).
2. Таблица производных, правила дифференцирования, производная сложной функции Таблица производных: 
16-19 НЕ НАДО!
| |
Правила дифференцирования
Функция назыв.дифференцируемой в точке х0,если она имеет производную в этой точке.
Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то: 
Производная сложной функции
Формула:
(u(v(x)))’=u’v*v’x
Дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям.
Дифференциал функции.
Определение: Дифференциалом функции называется главная часть ее приращения,линейная относительно приращения аргумента:
dy= f ′ (х) ∆х;
Дифференциалом аргумента х считается его приращение
dx=∆х;
Если приращение агрументаDх мало по абсолютной величине, то Dу приблизительно=dy,а для функции будет выполняться приближенное равенство:
f (x+Dx)приблизительно= f (x)+ dy
Свойства дифференциала:стр.39
Производные и дифференциалы высших порядков.
Определение: Производная второго порядка называется производная производной данной функции:
Определение: Производная n-го порядка называется производной производной n-1-го порядка.
d2y=y”dx2 – диф-л 2-го порядка
dny=d(dn-1y)-дифферен.n-го порядка
Применение производной к вычислению пределов (правило Лопиталя).
Правила Лопиталя.
Если функция f(x), g(x) дефференцирована в окресности т. x0, причем lim f(x)=lim g(x)=0 (g’(x) ≠0) или lim f(x)=lim g(x)=∞ при этом
Возрастание и убывание функции (признак возрастания и убывания), критические точки и экстремумы функции. Необходимый и достаточный признак существования экстремума
Условия монотонности функции.
Функция у=f(x) наз.возрастающей(убывающей) на интервале (а, b) если для любых х1 и х2 из (а, b) таких что х1<х2 выполняется неравенство:
1)f(x1)<f(x2)-для возрастания
2) f(x1)>f(x2)-для убывания
Теорема 1(признак возрастания и убывания функции)
Если f’(x)>0 для любого x принадлежащего (а, b) то функция y=f(x) возрастает на (a,b);
Если f’(x)< 0 для любого x принадлежащего (а, b) то функция y=f(x) убывает на (a,b);
Промежутки возрастания и убывания функции наз.промежутками монотонности.
Определение. Точка х0 назыв.точкой максимума(минимума) функции y=f(x) если существует такое полож.число ∆ σ >0,что из неравенства │x-x0│< σ следует неравенствo f(x0)>f(x) (f(x0)<f(x))
Определение 3.Значение функции в точке максимума (минимума) назыв.максимумом(минимумом) функции.
Точки максимума и минимума,назыв.точками экстремума,а максимумы и минимумы функции назыв.экстремумами функции.
Теорема 2(Необходимый признак существования экстремума)
Если функция у=f(x) имеет в точке х0 экстремум то производная f’(x0)=0 или не существует.
Определение 4.Точки,принадлежащие области определения ф-ции,производная в которых =0 или не существует назыв.критическими точками.
Теорема 3(достаточный признак экстремума)
1)Если при переходе через критическую точку производня меняет знак,то в данной точке экстремум есть;если знак производной не меняется то в критической точке экстремума нет.
2)Если при переходе слева направо через критическую точку производная меняет знак с + на -,то это точка максимума.Если с – на + то точка минимума
7.Асимптоты графика функции.
Асимптоты.
Опр. Асимптотой функции у=f(x) называется прямая к которой функция неограничена приближается при х стремящемся к бесконечности.
Опр. Прямая х=х0 назыв.вертикальной асимптотой графика функции у=f(x) если хотя бы один из односторонних пределов f(x0-0) или f(x0+0) = бесконечности.
Опред. Прямая y=kx+b назыв.наклонной асимптотой графика функции f(x) при х стремящемся к +- бесконечности если функция f(x) может быть представлена в виде f(x)= kx+b+альфа(х), где альфа(х) стремится к 0.
Для нахождения k и b используются формулы::
8.Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба.
