Тұрақты ток электр тізбектері.Контурлық токтар әдісі

Контурлық тоқтар әдісін 1873 жылы Максвелл ұсынған. Бұл әдіс электр тізбектерін есептеудің әмбебап әдістері қатарына жатады.

Бұл әдіс Кирхгоф заңдарына және екі шартты келісімдерге негізделген.

Бірінші келісім: әрбір контурда біріне – бірі байланыссыз шартты контурлық есептік тоқ жүреді деп саналады:

І₁₁, І₂₂, І₃₃,..., І_nn.

Осы тоқтар белгісіздер ретінде ізделеді.

Екінші келісім: әрбір тарам арқылы өтетін тоқ осы тарам арқылы өтетін контурлық тоқтардың алгебралық қосындысына тең

.

Бұл келісім аясында тоғы ізделіп отырған тарамдардан өтетін контурлық тоқтар үш жағдайда болады.

Бірінші жағдай (1˚) – тарамнан өтетін контурлық тоқтардың бағыттары бірдей. Бұл жағдайда ізделіп отырған тоқ сол контурлық тоқтардың арифметикалық қосындысына тең бағыттары сол контурлық тоқтардың бағыттарымен бағыттас (57-сурет, 1˚)

.

Екінші жағдай (2˚) – тарамнан өтетін контурлық тоқтардың бағыттары қарама-қарсы. Бұл жағдайда ізделіп отырған тоқ сол контурлық тоқтардың айырымы ретінде табылады: үлкеннен кішісі алынады да үлкенінің бағыты қойылады (57-сурет, 2˚)

, егер .

Үшінші жағдай (3˚) – тарамнан бір ғана контурлық тоқ өтеді. Бұл жағдайда ізделіп отырған тоқ осы контурлық тоққа тең бағыты онымен бағыттас (57-сурет, 3˚)

.

Өздеріңе белгілі Кирхгофтың екінші заңы бойынша мынадай теңдеулер жазамыз

I₁R₁- I₂R₂- I₄R₄=E₁-E₂;

-I₂R₂- I₃R₃+ I₅R₅= -E₂-E_{3 ;}

R₄R₄+ I₅R₅+ I₆R₆=0.

Жоғарыда келтірілген шартты келісімдердің бірініші шарты бойынша осы контурда контурлық тоқтар жүреді дейік, оларды былай белгілейік және бағыттары белгілі дейік:

І₁₁, І₂₂, І₃₃.

Екінші шарт бойынша тарамдағы тоқтарды контурлық тоқтар арқылы өрнектейік.

 

І₁=І₁₁, І₂=-(І₁₁+І₂₂), І₃=-І₂₂, І₄=(І₃₃-І₁₁), І₅=(І₂₂+І₃₃), І₆=І₃₃ (5.2)

 

Егер (5.2) (5.1) ге қойсақ:

І₁₁R₁+(I₁₁ + I₂₂)R₂-(I₃₃- I₁₁) R₄=E₁- E₂;

(I₁₁ + I₂₂) R₂+ I₂₂R₃+(I₂₂+ I₃₃)R₅= - E₂- E₃;

(I₃₃- I₁₁)R₄+(I₂₂+I₃₃)R₅+ I₃₃R₆=0.

 

 

Жақшаларды ашып бірдей мүшелерді біріктірсек:

І₁₁ (R₁+ R₂ + R₄)+ І₂₂R₂-I₃₃-R₄=E₁- E₂;

І₁₁R₂ + I₂₂ (R₂+R₃ +R₅) + I₃₃R₅ = -E₁- E₃;

-І₁₁R₄+ I₂₂R₅ + I₃₃ (R₄+R₅ +R₆)=0.

 

 

Яғни үш белгісіз бар (І₁₁, І₂₂, І₃₃) сызықтық теңдеулер системасын алдық, матрица түрінде:

[R]x[I]=[E].

Матрицаларды ашсақ

Осы матрицаны талдап көрейік:

(R₁ + R₂ + R₃) = R₁₁- бірінші контурдың меншікті кедергісі.

(R₂ + R₃ + R₄) = R₂₂- екінші контурдың меншікті кедергісі.

(R₄ + R₅ + R₆) = R₃₃- үшінші контурдың мешікті кедергісі.

яғни R_nn–контурлардың меншікті кедергісі, оң таңбамен алынады.

R₂ = R₁₂ = R₂₁– бірініші және екінші контурдың ортақ кедергісі;

-R₄ = R₁₃ = R₃₁– бірінші және үшінші контурдың ортақ кедергісі;

R₅ = R₂₃ = R₃₂ – екінші және үшінші контурдың ортақ кедергісі,

яғни R_mn=R_nm–контурлардың ортақ кедергілері–контураралық кедергілер, егер контурлар бағыты бірдей болса оң, басқа жағдайда теріс таңбамен жазылады.

Е₁ –Е₂ = Е₁₁- бірінші контурдың электр қозғаушы күші;

Е₂ –Е₃ = Е₂₂- екінші контурдың электр қозғаушы күші;

0= Е₃₃- үшінші контурдың электр қозғаушы күші;

яғни Е_nn- контурлық электр қозғаушы күштер.

Ендеше кез-келген электр желісі үшін контурлық тоқтар бойынша мынадай теңдеулер жүйесін жазуға болады:

R₁₁I₁₁ + R₁₂ I₂₂ + R₁₃ I₃₃ +…+ R_1n I_nn=E₁₁

R₂₁I₁₁ + R₂₂ I₂₂ + R₂₃ I₃₃ +…+ R_2n I_nn=E₂₂

R₃₁I₁₁ + R₃₂ I₂₂ + R₃₃ I₃₃ +…+ R_3n I_nn=E₃₃

_{- - - - - - - - - - -- - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - -}

R_n1I₁₁ + R_n2 I₂₂ + R_n3 I₃₃ +…+ R_mn I_nn=E_nn

 

Осы теңдеулер системасындағы белгісіз контурлық тоқтарды математикадағы белгілі әдістермен табуға болады.

І₁₁, І₂₂, І₃₃,... I_nn

Ал, тармақтағы нақты тоқтар екінші шарт бойынша табылады.

Біздің мысал үшін: үш контурлы желі, сондықтан теңдеу үшеу, егер есепті анықтауштар әдісімен шығарсақ.

- теңдеудің бас анықтауышы

₁₁, ₂₂, ₃₃ – теңдеудің қосымша анықтауыштары

Сонда

І₁= , І₂₂= , І₃₃= .

Бұларды (5.2) қойып тоқтарды табамыз – І _і.