Функция распределения случайной величины

Вопросы к коллоквиуму №2

Вопросы, требующие рассуждений.

1) Функция распределения случайного вектора. Ее свойства (с обоснованием).

2) Условное распределение случайного вектора: функция распределения, плотность распределения (с обоснованием).

3) Свойства математического ожидания случайной величины (с доказательством).

4) Свойства дисперсии случайной величины (с доказательством).

5) Свойства ковариационного момента случайных величин (с доказательством).

6) Свойства коэффициента корреляции (с доказательством).

7) Применения свойств числовых характеристик к анализу портфеля инвестиций, среднего, стандартизованной с.в., нахождению числовых характеристик гипергеометрического распределения (с выводом).

8) Основные способы нахождения распределения функции от случайного вектора (с примерами)

9) Нахождение распределения суммы, разности, частного и произведения двух случайных величин (с выводом).

 

Вопросы, не требующие вывода (понятия, постановки задач, формулы).

Аксиоматическое определение вероятности.

 

Вероятность на (Ω, Ξ) есть числовая функция, определенная на множествах из Ξ и обладающая свойствами.

A1. P(A)>=0 (Аксиома неотрицательности)

A2. P(Ω)=1 (Аксиома нормированности)

A3. Для несовместных событий A₁, … A_n верна аксиома аддитивности:

A4. Функция множеств P(A)>=0 непрерывна, т.е. для любой монотонной последовательности событий {B_n}:

 

, если {B_n} – неубывающая последовательность.

, если {B_n} – невозрастающая последовательность.

 

Основные следствия из аксиом теории вероятностей.

 

1) Формула сложения вероятностей для несовместных событий:

 

2) Свойство полной группы событий:

P(A₁)+…+P(A_n)=1

3) Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

4) Вероятность невозможного события равна 0

5) Для любых A и B справедлива формула сложения вероятностей

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

6)

7)

 

 

Понятие и определение случайной величины.

Числовая величина ξ= ξ(ω), ω ϵ Ω, определенная на множестве элементарных событий, значение которой зависит от случая и непредсказуемо до завершения испытания, называется случайной величиной.

x- конкретное значение, ӿ - множество всех возможных значений.

Если ӿ - дискретное мн-во, то ξ – ДСВ

Если ӿ - непрерывная область, то ξ – НСВ

Случайная величина исчерпывающим образом описывается посредством распределения вероятностей

 

Закон распределения (распределение) случайной величины.

Это множество возможных значений случайной величины и распределение вероятностей на этом множестве.

Задается с помощью фр(функции распределения), таблицы распределения или формулы, плотности, редко графически.

Функция распределения случайной величины.

Числовая функция F(x)≡F_ξ(x), xϵR, заданная выражением F(x)=P(ξ<x).

Ф.р. F(x) определяет вероятность попадания с.в. левее точки x.

Св-ва:

1) 0<=F(x)<=1

2) F(x)=0 при x=-∞

F(x)=1 при x=+∞

3) F(x) непрерывна слева.

4) Неубывает

5) P(x₁<=ξ<=x₂)= F(x₂)-F(x₁)

6) P(x<=ξ)=1-F(x)