Теорема (об ограниченности сходящейся последовательности).
Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство:
Пусть 
сходится, и пусть 
. Тогда для положительного числа 
существует номер 
такой, что при 
выполняется неравенство 
. Отсюда 
, т.е. 
.
Следовательно, 
, и последовательность ограничена.
Теорема доказана.
2.
Если функция 
представима при 
в виде суммы постоянного числа 
и бесконечно малой величины 
то 
.
Обратно, если 
, то 
, где 
– бесконечно малая при 
.
Доказательство:
Докажем первую часть утверждения. Из равенства 
следует 
. Но так как 
– бесконечно малая, то при произвольном 
найдется 
– окрестность точки a, при всех x из которой, значения удовлетворяют соотношению 
Тогда 
. А это и значит, что 
.
Если 
, то при любом 
для всех 
из некоторой 
– окрестность точки 
будет 
. Но если обозначим 
, то 
, а это значит, что 
– бесконечно малая.
3.
Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
Доказательство:
Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть 
где 
. Нам нужно доказать, что при произвольном сколь угодно малом 
найдется 
, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству 
, выполняется 
.
Итак, зафиксируем произвольное число ε > 0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ1 > 0, что при |x – a|< δ1 имеем |α(x)|< ε / 2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ2 > 0, что при |x – a|< δ2 имеем | β(x)|< ε / 2.
Возьмем δ=min{ δ1, δ2 }. Тогда в окрестности точки a радиуса δ будет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε / 2 и | β(x)|< ε / 2. Следовательно, в этой окрестности будет
|f(x)|=| α(x)+β(x) | ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε /2 + ε /2= ε,
т.е. |f(x)|< ε, что и требовалось доказать.
4.
Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию 
при (или при 
) есть бесконечно малая функция.
Доказательство:
Так как функция 
ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a 
. Кроме того, так как – бесконечно малая функция при x 
, то для произвольного ε > 0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство 
. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем 
.
А это и значит, что 
– бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.
5.
Теорема о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями:
Если функция 
- функция бесконечно малая, то функция 
есть бесконечно большая функция и наоборот.
Доказательство:
Пусть 
- бесконечно малая функция при 
, т.е. 
. Тогда для любого числа 
существует такое число 
, что для всех x, удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство 
, т.е. 
, т.е. 
,
где 
. А из этого следует, что функция 
- бесконечно большая.
6.
7.
Теорема о сумме конечного числа бесконечно малых функций различных порядков малости.
Теорема: сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Доказательство:
Пусть 
при 
, причем 
- бесконечно малая более высокого порядка малости, чем 
, т.е. 
.
Тогда: 
.
Следовательно: 
при .
