Теорема (об ограниченности сходящейся последовательности).
Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство:
Пусть сходится, и пусть
. Тогда для положительного числа
существует номер
такой, что при
выполняется неравенство
. Отсюда
, т.е.
.
Следовательно, , и последовательность
ограничена.
Теорема доказана.
2.
Если функция представима при
в виде суммы постоянного числа
и бесконечно малой величины
то
.
Обратно, если , то
, где
– бесконечно малая при
.
Доказательство:
Докажем первую часть утверждения. Из равенства следует
. Но так как
– бесконечно малая, то при произвольном
найдется
– окрестность точки a, при всех x из которой, значения
удовлетворяют соотношению
Тогда
. А это и значит, что
.
Если , то при любом
для всех
из некоторой
– окрестность точки
будет
. Но если обозначим
, то
, а это значит, что
– бесконечно малая.
3.
Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
Доказательство:
Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть где
. Нам нужно доказать, что при произвольном сколь угодно малом
найдется
, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству
, выполняется
.
Итак, зафиксируем произвольное число ε > 0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ1 > 0, что при |x – a|< δ1 имеем |α(x)|< ε / 2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ2 > 0, что при |x – a|< δ2 имеем | β(x)|< ε / 2.
Возьмем δ=min{ δ1, δ2 }. Тогда в окрестности точки a радиуса δ будет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε / 2 и | β(x)|< ε / 2. Следовательно, в этой окрестности будет
|f(x)|=| α(x)+β(x) | ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε /2 + ε /2= ε,
т.е. |f(x)|< ε, что и требовалось доказать.
4.
Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию
при
(или при
) есть бесконечно малая функция.
Доказательство:
Так как функция ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a
. Кроме того, так как
– бесконечно малая функция при x
, то для произвольного ε > 0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство
. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем
.
А это и значит, что – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.
5.
Теорема о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями:
Если функция - функция бесконечно малая, то функция
есть бесконечно большая функция и наоборот.
Доказательство:
Пусть - бесконечно малая функция при
, т.е.
. Тогда для любого числа
существует такое число
, что для всех x, удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство
, т.е.
, т.е.
,
где . А из этого следует, что функция
- бесконечно большая.
6.
7.
Теорема о сумме конечного числа бесконечно малых функций различных порядков малости.
Теорема: сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Доказательство:
Пусть при
, причем
- бесконечно малая более высокого порядка малости, чем
, т.е.
.
Тогда: .
Следовательно: при
.