Непрерывность ф-ий на интервале и на отрезке

О: Ф-ия f(x) наз непрерывной на интервале (а;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

О: Ф-ия f(x) наз непрерывной на отрезке [a;b], если:

1.Она непрерывна в каждой точке интервала (а;b)

2.В точке х=а непрерывна справа

3.В точке х=b непрерывна слева

Классификация разрывов:

Если в т.х₀ нарушается хотя бы одно из условий непрерывности, то говорят, что в т.х₀ ф-ия терпит разрыв.

Точку х₀ наз точкой разрыва ф-ии и в ней нарушается хотя бы одно из условий непрерывности точки, а именно:

1.Ф-ия определена в окрестности т.х₀, но не определена в самой т.х₀

 

 

2.Ф-ия определена в точке и ее окрестности, но не сущ-ет предела

 

 

3.Ф-ия определена в точке и ее окрестности. Сущ-ет предел, но этот предел не равен значению ф-ии в т.х₀

 

Все точки разрыва ф-ии разделяются на точки разрыва 1ого и 2ого рода.

О: Точка разрыва х₀ наз точкой разрыва 1ого рода ф-ии y=f(x), если в этой точке сущ-ют конечные пределы ф-ии слева и справа (вып п2) при этом:

1)Если

А)В т.х₀ ф-ия f(x) – не определена(п1)

Односторонние пределы этой ф-ии конечны и равны, но в т.х₀=0 ф-ия неопределена, т.е. х₀=0-точка разрыва 1ого рода, а именно точка устранимого разрыва.

В)В т.х₀ ф-ия f(x) – определена(п3), но

х₀=0-точка разрыва 1ого рода, а именно точка устранимого разрыва.

2)

Скачок ф-ии-это разность односторонних пределов

О: Если хотя бы один из односторонних предделов не сущ-ет или бесконечен, то в т.х₀ ф-ия не имеет разрыва 2ого рода.

Вопрос№18 Замечательный тригонометрический предел

Теорема: Предел отношения sinуса к его аргументу, при стремлении аргумента к нулю равен 1.

 

 

Док-во: Рассмотрим круг радиуса 1. На круге возьмем т.М и соединим с началом координат, угол обозначим за х.

Опустим из т.М перпендикуляр на ОХ получим т.А. Соединим т.М с т. Пересечения окружности с ОХ, получим т.В. Через В проведем прямую перпенд ОХ. Продолжим прямую ОМ до пересечения прямой, которая перпенд ОХ, получим т.N.

 

Вопрос№19 Число е. Натуральные лог. Замечательный предел.

Теорема Веерштраса: Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится

Рассмотрим последовательность {x_n} с общим членом.Докажем, что она сходится. Для этого согласно теореме Веерштрасса достаточно доказать, что она возрастающая и ограниченная.

1)Докажем возрастание: для этого будем использовать формулу Бинома-Ньютона:

 

2)Докажем, что {x_n}-ограниченная. Для этого заметим, что каждое выражение в скобках для x_n, т.е. выражение вида, потому если в выражении x_n каждую скобку заменить на 1, то полчим, что

Используя известную формулу

Получим:

 

Следовательно, по теореме Веерштрасса эта последовательность имеет предел, т.е. существует

 

 

Следствие: если последовательность монотонна, но не ограничена, то она ББ, т.е. расходится. Таким образом, любая монотонная последовательность имеет предел. Этот предел конечен. Если послед ограниченная, то она имеет предел, обозначаемый буквой е.

Число е принято за основание натрльных логарифмов: логарфм по основанию е наз натуральным лагаримом и обозначается lnx, т.е. lnx=log_ex

2ой замечательный предел:

Док-во:

 

Вопрос№22 Классификация БМ.

Ранее мы уже говорили о том, что сумма, разность и произведение БМ- это БМ ф-ии. Отношение 2ух БМ ф-ий может вести себя по-разному. Рассмотрим эти случаи.

 

 

Теорема: Предел ф-ии не изменится, если одну БМ заменить на одну эквивалентную ей.

Данную теорему полезно применять при вычислении предела. Основные эквивалентности при вычислении предела:

 

Вопрос№23Теорема о сохранении знака непрерывной ф-ии

Теорема: Пусть ф-ия f(x) непрерывна в т.х₀ и f(x₀)=(no)0. Тогда сущ-ет д>0 такое, что для всех x (x₀-д;х₀+д) ф-ия f(x) имеет тот же знак, что и f(x₀)/

Док-во: Пусть f(x0)>0. Тогда в силу второго о-ия непрерывности ф-ии для любого е>0 сущ-ет д>0 такое, что неравенство |f(x)-f(x₀)|<e выполняется для всех х, удовлетворяющих условю |x-x₀|<д, или, что то же самое, выполняются неравенства f(x₀)-e<f(x)<f(x₀)+e для всех x (x₀-д;х₀+д). Возьмем e=f(x₀). Тогда из левого неравенства получаем: f(x)>0 для всех x (x₀-д;х₀+д).

Если же f(x₀)<0, то рассмотрим ф-ию –f(x). Так как –f(x₀)>0, то по доказанному сущ-ет д-окрестность точки х₀, в которой –f(x)>0 => f(x)<0.

Вопрос№24 Приращение ф-ии. Признак непрерывности ф-ии в точке.

Пусть y=f(x) и y₀=f(x₀). Тогда y=y-y₀ =f(x)-f(x₀) наз приращением ф-ии.

 

О: Ф-ия y=f(x) наз непрерывной в т.x₀ если БМ приращению аргумента соответствует БМ приращение ф-ии. Т.е.

Докажем эквивалентность этих о-ий: Пусть y=f(x) непрерывна в т.x₀ тогда согласно 1ому о-ию выполняется равенство

 

Вопрос№25 Теоремы о ф-ии непрерывной на замкнутом промежутке.

О: Ф-ия f(x) наз ограниченной на [a;b], если

1ая Теорема Веерштрасса: Всякая непрерывная на отрезке [a;b] ф-ия ограничена на этом отрезке. Без док-ва.

2ая Теорема Веерштрасса: Если ф-ия непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.

 

 

Непрерывная на [a;b] y=f(x) достигает наибольшего значения в т.х₁ и наибольшего в т.х₂, значит все значения заключены между m и М

 

 

3.Теорема(о промежуточном значении): Если ф-ия непрерывна на [a;b] и на его концах принимает значение разных знаков, то внутри отрезка [a;b] найдется хотя бы одна т.С, в которой данная ф-ия обращается в 0.

 

 

4.Теорема: если ф-ия непрерывная на [a;b] и f(a)=A, f(b)=B, то для любого числа С, А<C<B

 

 

5.Множество значений ф-ии непрерывной на отрезке есть отрезок.

Вопрос№26 О-ие производной.

Рассмотрим ф-ию y=f(x) в некотором интервале (а;b).

 

Рассмотрим т.х₀ и приращение аргумента х, тогда график имеет 2 точки: 1. (x₀; f(x₀)) 2.(x0+ x; f(x₀+ x)).

Проведем прямую через эти точки. Эта прямая наз секущей для графика y=f(x). Составим у-ие для секущей:

 

Угловой коэффициент секущей равен отношению приращения ф-ии к приращению аргумента:

 

О: Приозводная ф-ии y=f(x) в т.х₀ наз предел отношения приращения ф-ии к вызвавшему уме приращения аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю (при условии, что этот предел сущ-ет)

 

 

Предел отношения приращения ф-ии к приращению аргумента может:

1.Сущ-ать и быть конечным, тогда говорят в данной точке ф-ия имеет конечную производну.

2.Если этот предел сущ-ет и бесконечен, тогда говорят, что в данной точке ф-ия имеет бесконечный предел

3.Если этот предел не сущ-ет, то производной в данной точке не сущ-ет.

Вопрос№27 Геометрический смысл производной

О: Прямая y-y₀=k(x-x₀), коэффициент которой равен значению производной в точке, т.е. к=f(x₀) наз касательной к графику ф-ии в точке с координатами (x₀; f(x₀)).

Рассмотри секущую, проходящую через (x₀; f(x₀)) (x0+ x; f(x₀+ x)).

При, секущая стремится занять положение касательной, таким образом будем говорить, что касательная есть предельное положение секущей.

Геометрический смысл производной ф-ии в точке состоит в том, что она равна угловому коэффициенту, т.е. тангенсу угла касательной в точке касания.

 

 

Таким образом, у-ие касательной имеет вид

 

 

О: Пряма перпенд в точке касания наз нормлью или кривой. Найдем у-ие нормали. Т.к. нормаль перпендкасат, то угл коэф нормали равен

 

 

Вопрос№28. Теорма о связи сущ-ия производной и непрерывности ф-ии в точке.

Теорема: Если y=f(x)-дифференцируема в т.х₀ , то она непрерывна в этой точке. Обратное утв неверно.

Док-во: Так как ф-ия дифференцируема в т.х₀ , то ее приращение может быть представлено в виде

 

Вопрос№29 Правила вычисления производных

Пусть ф-ии f(x) и g(x)-дифференц в т.х₀, тогда

1.Производная сумма(разности) 2ух ф-ий ранв сумме(разности) производных этих ф-ий

 

 

2.Производная произведения 2ух ф-ий равна произведению производной первого сомножителя на 2ой + произведению 1ого сомножителя на производную 2ого.

 

3.Постоянный множитель можно выносить за знак производной

 

 

4.Производная частного вычисляется по формуле

 

 

Вопрос№30 таблица производных

 

Вопрос№31 Теорема о производной сложной ф-ии

Пусть y=f(u), u=Ф(x), тогда y=f(Ф(х)) – сложная ф-ия с промежуточным аргументом и независимым аргументом х.

Теорема: Пусть u=Ф(x)-дифференц в т.х₀, а y=f(u) дифферен в т.u₀, где u₀=Ф(х₀), тогда сложная ф-ия y=f(Ф(х)) имеет производную в т.х₀ и справедливо след формула:

 

 

Замечание: в данной теореме рассмотрена сложная ф-ия, где у зависит от х через одну промежуточную переменную u. Возможна и более сложная зависимость с 2мя, 3мя и большим числом промежуточных переменных, но правило дифференцирования остается прежним.

Вопрос№32 Теорема о производной обратной ф-ии

Теорема: Пусть ф-ия y=f(x) определена строго монотонна и непрерывна в окрестности т.х0

 

Тогда если y=f(x) имеет производную в т.х₀ отличную от нуля, то обратная ф-ия также имеет в т.у₀=f(x₀), конечную отличную от нуля

 

Вопрос№33 О-ие ф-ии, дифференцируемой в точке.

Операцию вычисления производной ф-ии будем называть операцией дифференцирования

О: Ф-ия y=f(x) наз дифференцируемой в т.х₀, если ее приращение можно представить в виде

 

Где А-некоторое число, независящее от, -ф-ия аргумента

Теорема: Для того, чтобы y=f(x) была дифференц в т.х₀ необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Док-во:

 

Вопрос№34 Дифференциал ф-ии и его свойства.

Пусть ф-ия y=f(x) дифференц в т.х₀ тогда ее приращение можно записать в виде суммы 2ух слагаемых.

 

Рассмотрим слаг. А, оно явл БМ одного порядка

 

Рассмотри 2ое слаг,, оно явл БМ более высокого порядка чем

 

 

Таким образом, 1ое слагаемой при А=(no)0 явл главной частью приращения y=f(x).

О: Дифференциалом ф-ии y=f(x) в т.х₀ наз главная линейная, относительно, часть приращения ф-ии этой точки.

 

 

Если А=0, то в этом случае полагают, что А х явл главной частью приращения. В этом случае dy=0.

Учитывая, что А=, получаем

Если f(x)=x, то

Таким образом

Геометрический смысл дифференциала:

Рассмотрим график производной ф-ии y=f(x)

 

 

Проведем касательную к графику в т.М

 

Дифференциал ф-ия y=f(x) в т.х₀ равен приращению ординаты касательной к графику ф-ии в этой точке, когда х₀ получен приращением

Вопрос№35 Применение дифференциала для приближенных вычислений

Как уже известно приращение дифференцируемой ф-ии можно записать в виде:

 

Так как первое слагаемое явл главной частью этого приращения, то отбрасывая БМ часть более высокого порядка чем получаем приближенное равенство

 

Подставим:

 

 

Вопрос№36 Производные и дифференциалы высших порядков

Понятие производной n-ого порядка: Производная ф-ии y=f(x) сама является некоторой ф-ией аргумента х. Следоват, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о сущ-ии и нахождении производной.

Назовем

Производная от произведения некоторой ф-ии наз производной 2ого порядка или 2ой производной это ф-ии

 

Производная 3ого порядка – это производная от производной 2ого порядка

 

Производная n-ого порядка – это производная от производной n-1-ого порядка

 

Дифференциал высших порядков:

 

Пусть в свою очередь, дифференцируема в некоторой т.х. Тогда дифференциал 2ого порядка получаем как дифференциал от дифференциала 1ого порядка:

 

 

Ф-ла для дифференциала 2ого порядка имеет вид:

 

 

Вопрос№37Теорема Ферма

Пусть ф-ия y=f(x) определена на (а;b) и в некоторой точке х₀ этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда если в т.х₀ сущ-ет производная, то она=0.

Док-во: Пусть для определенности ф-ии y=f(x) в т.х₀ имеет наибольшее значение

 

Возможны 2 случая

 

 

Так как ф-ия y=f(x) по условию дифференцируема в т.х₀ , то она непрерывна в этой точке х₀, а значит

 

 

Замечание: Теорема неверна, если y=f(x) рассматривается на промежутке от [a;b]

Вопрос№38 Теорема Ролля

Пусть на отрезке от [a;b] определена ф-ия y=f(x) причем выполняются след условия:

1.Непрерывна на отрезке [a;b]

2.Дифференцируема на интервале (а;b)

3.f(a)=f(b)

 

Док-во: Т.к. ф-ия y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то по теореме Веерштрасса она имеет на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее значение m.

 

 

Возможны 2 случая:

 

 

Вопрос№39 Теорема Лагранжа

Пусть на отрезке [a;b] определена ф-ия y=f(x) пичем выполняются след условия:

1.Непрерывна на отрезке [a;b]

2.Дифференцируема на интервале (а;b)

 

Док-во: рассмотрим на отрезке [a;b] вспомним

 

Для этой ф-ии выполняются все условия Теоремы Ролля, убедимся в этом.

 

Замечание: Т. Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим равенство

 

 

Следовательно, геометрический смысл теоремы таков, на графике ф-ии y=f(x) найдется точка с координатами (с;f(c)), к которой касательная к графику ф-ии параллельна секущей АВ.

Вопрос№40 Правило Лопиталя

Следующаяя теорема устанавливает правила для расскрытия неопределенности вида при вычислении предел.

Пусть f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности т.х₀ за исклбчением быть может самой т.х_0. Известно также, что предел

 

Тогда,

 

Док-во: Предположим, что f(x) и g(x) непрерывна в т.х₀. Применим к ф-иям f(x) и g(x) теорему Коши для отрезка [x₀;x]

 

 

Перейдем к пределу в этом равенстве при, читывая, что

 

Замечание: данная теорема верна в том случае, когда, а также неопределенность вида