Установим связь между ББ и БМ последовательностями
Теорема: Если {xn}-ББ и все ее члены отличны от нуля, то последоват {1/xn}-БМ и обратно. Если {xn}-БМ и все ее члены отличны от нуля, то последоват {1/xn}-ББ.
Док-во: Пусть {xn}-ББ. Возьмем е(эпсилон)>0 и пусть М=1/е. По определению ББ последовательности для этого числа М существует такой такой номер N такой, что для всех элементов с номером n>N вып неравенство |xn|>M. Тогда
А это означает согласно о-ию БМ послед что {1/xn}-БМ
Вопрос№8 Определение ф-ии.
Числовую величину х назовем переменной величиной если она может принимать различные значения. Обозначим множество значений переменной х через Х (х Х) Х R.
Пусть также сущ-ет множество У, которое является подмножеством множества R (У R)
О: Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу сопоставлен единственный элемент у из множества У, то говорят на множестве Х задана ф-ия у=f(x)
Таким образом, ф-ия определена если задано:
1.Множество х-область определения ф-ии
2.Множество у-множество значений ф-ии
3.Правило сопоставления элемента у элементам х
Переменная х наз независимой переменной или аргументом.
Переменная у наз зависимой от х-переменной или функцией.
Способы задания ф-ии:
1)Табличный. Ф-ия задаеся таблицей значений аргумента и соответствующих им значений функции
2)Графический. Задается график ф-ии значения ф-ии у соответствующие значению х находятся непосредственно из графика. Преимущество: наглядность. Недостаток: неточность
3)Аналитический: Задается в виде одной или нескольких формул или у-ий
Аналитический способ является наиболее совершенным для задания ф-ии, т.к. к нему приложены методы мат.анализа, позволяющие полностью исследовать ф-ию.
Свойства ф-ий: (убывающие и возрастающие-строго монотонные)
1.Монотонность. Пусть у=f(x) определена на множетсве Д и пусть множество Д1-подмножество множества Д (Д1 Д)
О:Если для любых таких, что x1<x2 выполн f(x1)<f(x2), то у=f(x) наз строго возрастающей на множестве Д1
О:Если для любых таких, что x1<x2 выполн f(x1)<=f(x2), то у=f(x) наз возрастающей на множестве Д1
О:Если для любых таких, что x1<x2 выполн f(x1)>f(x2), то у=f(x) наз строго убывающей множестве Д1
О:Если для любых таких, что x1<x2 выполн f(x1)>=f(x2), то у=f(x) наз убывающей множестве Д1
Интервалы, на которых ф-ия монотона наз интервалами монотонности.
Ограниченность
О: Ф-ию у=f(x), определенную на мн Д наз ограниченной на этом множестве, если сущ-ет такое число М>0, что для всех х Д вып неравенство |f(x)|<=M
Отсюда следует, что график ограниченной ф-ии лежит между у=М и у=-М
Четность.
О: Ф-ия у=f(x) опред на множестве Д наз четной, если для любых х из множества Д –х тоже принадлежит мн Д и вып условие т.е. f(-x)=f(x)
О: Ф-ия у=f(x) опред на множестве Д наз нечетной, если для любых х из множества Д –х тоже принадлежит мн Д и вып условие f(-x)=-f(x)
Обратная ф-ия: Пусть задана ф-ия у=f(x) с областью определения Д и множеством значений Е.
Если каждому у из множества Е соответствует единственный х из множества Д, то говорят определена х=Ф(у). Такая ф-ия наз обратной у=f(x) и записывают х=Ф(у)=f-1(y).
Про ф-ии х=Ф(у) у=f(x) говорят, что они являются взаимообратными
Чтобы найти х=Ф(у) обратную у=f(x) достаточно решить относительно х у-ие у=f(x) (выразить х)
Из определения обратной ф-ии следует, что у=f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда f(x) задает взаимооднозначное соответствие между мн Д и Е.
Отсюда следует, что любая строгомонотонная ф-ия имеет обратную, при этом если ф-ия возрастает, то и обратная ф-ия также возрастает, если ф-ия убывает, то и обратная ф-ия также убывает
Замети, что у=f(x) и обратная ей х=Ф(у) изображаются одной и той же кривой (графики совпадают). Если же условится, что как обычно независимую переменную, т.е. аргумент будем обозначать через х, а зависимую через у, то ф-ия обратная к ф-ии у=f(x) запишется в виде х=Ф(у).
у=f(x) х=Ф(у). При этом т.М1(х0;у0) у=f(x) будет соответствовать т.М2(х0;у0) х=Ф(у)
Точки М1 и М2 симметричны относительно прямой у=х.
Таким образом, графики взаимно обратных ф-ий симметричны относительно биссектрисы 1 и з координатных углов.
Сложная ф-ия: Пусть y=f(u) опр на Д; u=Ф(х) опр на Д1
Причем u=Ф(х) Д, тогда на мн Д1 определена ф-ия y=f(Ф(x)), которая называется сложной ф-ией/ суперпозицией данной ф-ии/ функцией от ф-ии.
При этом переменную u=Ф(х) наз промежуточным аргументом сложной ф-ии. Сложная ф-ия может иметь несколько промежуточных аргументов.
Вопрос№9 Определение предела ф-ии на языке
Пусть f(x) определена в некоторой окрестности в т.х0, кроме может быть самой т.х0
1.(О конечного предела в конечной точке): Число А наз пределом ф-ии f(x) в т. x=x0, если для любого е(эпсилон)>0 найдется такое число д(дельта)>0 такое, что для всех х=(no)x0, удовлетворяющее неравенству |x-x0|<д выполняется |f(x)-A|<e
2.(О конечного предела на бесконечности): Число А наз пределом ф-ии f(x) при х стремящемуся к бесконечности, если для любого е(эпсилон)>0 найдется такое число д(дельта)>0 такое, что для всех х, удовлетв неравенств |x|<д вып условие |f(x)-A|<e
Если
3.(О бесконечного предела в конечной точке): предел ф-ии y=f(x) равен бесконечности в т.х-х0, если
4.(Бесконечный предел на бесконечности): Предел ф-ии y=f(x) равен бесконечности при х стремящемуся к бесконечности, если
Вопрос№10 БМФ. Свойства БМФ
Ф-ия y=f(x) наз БМ при х x0, если
Свойства о БМ (теоремы):
1.Алгебраическая сумма конечного числа БМФ есть БМФ
2.Произведение ограниченной ф-ии на БМФ есть БМФ
3.Произведение 2ух БМ есть БМ
4.Произведение БМФ на число есть БМФ
5.Если Z(x)-БМФ, то 1/Z(x) –ББФ и наоборот.
6.Если ф-ия f(x) имеет предел=А, то ее можно представить в виде
7.Если ф-ию f(x) можно представить в виде,то f(x) имеет предел=А.
Вопрос№11 Теорема о связи ф-ии и предела
Теорема1: Если ф-ия f(x) имеет предел=А, то ее можно представить как сумму числа А и БМФ а(х), т.е. если
Док-во:
Это означает, что ф-ия f(x)-А имеет предел=0, т.е. является БМФ, которую обозначим через а(х): f(x)-A=a(x). Отсюда f(x)=A+a(x).
Теорема(обратная1): Если ф-ию f(x) можно представить в виде суммы числа А и БМФ а(х), то число А является пределом ф-ии f(x), т.е. если f(x)=A+a(x), то
Док-во:
Вопрос№12 Определения ББФ
О: Ф-ия f(x) наз ББ при x x0, если
О: Ф-ия f(x) наз ББ при x, если
Вопрос№13 Свойства пределов ф-ии
В силу того, что о-ие предела может быть сформулировано на языке последовательности е, то теоремы о пределах последовательности, а также свойства пределов последовательностей могут быть аналогично сформулированы и для ф-ий и не требуют доп. Доказательств.
Т1: Предел суммы (разности) 2ух ф-ий = сумме (разности) их пределов
Т2: Ф-ия может иметь только один предел. Теорема о единственности предела
Предел произведения 2ух ф-ий = произведению пределов этих ф-ий
Т3: Постонный множитель можно выносить за знак предела
Т4: Предел частного 2ух ф-ий = частному пределов этих ф-ий если предел знаменателя отличен от нуля
Т5: Предел степени с натуральным показателем = той же степени предела
Вопрос№14 Теорема о предельном переходе в неравенстве
Т: Если предел
Док-во (от противного): Пусть выполнены все условия теоремы, но А>В. По о-ию предела следует
Вопрос№15 Теорема о сжатой переменной
Вопрос№16 Непрерывность ф-ии в точке и на промежутке.
О: Пусть ф-ия определена в т.х0 и в некоторой окрестности т.х0. Ф-ия f(x) наз непрерывной в т.х0, если существует предел в этой точке и он равен значению ф-ии в этой точке.
Необходимые условия:
1.f(x) определена в т.х0 и ее окрестности
2.Сущ-ет
3.
Для непрерывной ф-ии можно переставить знак ф-ии и знак предела
Приведем еще одно о-ие непрерывности ф-ии в точке. Пусть ф-ия определена в некоторой окрестности т.х0. Рассмотрим произвольное х из этой окрестности.
х=х-х0 наз приращением аргумента
Пусть y=f(x) и y0=f(x0). Тогда у=у-у0=f(x)-f(x0) наз приращением ф-ии
О: Ф-ия y=f(x) наз непрерывной в т.х0, если БМ приращению аргумента соответствует БМ приращение ф-ии. Т.е.
Докажем эквивалентность этих о-ий. Пусть y=f(x) непрерывна в т.х0, тогда согласно первому о-ию выполняется равенство
Непрерывность ф-ий на интервале и на отрезке
О: Ф-ия f(x) наз непрерывной на интервале (а;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
О: Ф-ия f(x) наз непрерывной на отрезке [a;b], если:
1.Она непрерывна в каждой точке интервала (а;b)
2.В точке х=а непрерывна справа
3.В точке х=b непрерывна слева
