Теорема Лагранжа (Ж.Л.Лагранж, 1736-1813)

Теорема Ролля (М.Ролль, 1652-1719).

Если функция у = f(x) удовлетворяет условиям:

(i) f(x) непрерывна на отрезке [а, b];

(ii) существует производная f(x) в интервале (а, b);

(iii) f(a) = f(b), т. е. на концах отрезка функция принимает одинаковые значения, то существует точка с Є (а, b) такая, что f'(c) = 0.

 

Геометрический смысл теоремы Роля:

В том, что суще­ствует точка, в которой касательная горизонтальна.

Причина этого состоит в том, что функция, принимающая на концах отрезка одинаковые значения, внутри отрезка имеет либо максимум, либо минимум.

Замечание: Если хотя бы одно из условий (i) — (iii) теоремы не выполняется, то теорема Ролля может быть неверна.

 

Теорема Коши (О.Л.Коши, 1789-1857).

Если функции у = f(x) u y=g(х) удовлетворяют условиям:

(i) f(x) и q(х) непрерывны на отрезке [а, b];

(ii) существуют производные f ‘(x) и g'(х) в интервале (а,b);

(iii) g'(х) ≠ 0 в интервале (а, b), то существует точка с Є (а, b), для которой выполняется равенство

 

Теорема Лагранжа (Ж.Л.Лагранж, 1736-1813).

Если функция у = f{x) удовлетворяет условиям:

(i) f(x) непрерывна на отрезке [а, b];

(ii) существуют производная f ’(x) в интервале (а, b), то существует точка сЄ (а, b), для которой выполняется равенство

 

2. Какова связь между возрастанием и убыванием функции и знаком ее производной?

Если у функции у = f(x) существует производная на интервале (а, b), то

функция f(x) возрастает <=> f '{x) > 0 и функция f(x) убывает <=> f ' (х) < 0

3. Какая точка называется точкой локального экстремума функции?

Точка х₀ называется точкой локального максиму­ма (соответственно, минимума) функции f(х), если в некоторой окре­стности точки х₀ выполняется неравенство f{x₀) ≥ f (х) (соответственно f{x₀) ≤ f(x)). Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума.

4. Как расположена касательная к графику функции в точ­ке экстремума?

Касательная к графику функции в точ­ке экстремума расположена параллельно оси Ox. Т.к производная функции в этой точке равна нулю и численно совпадает с угловым коэффициентом касательной к кривой, проведенной в этой точке.

5. Сформулировать достаточные условия экстремума функ­ции.

Если функция f{x) непрерывна в окрестности точки х₀, имеет производную в проколотой окрестности этой точки и если f{x) меняет знак в точке х₀, то х₀ — точка локального экстре­мума. Более точно:

если f{x) меняет знак с' + 'на' — ', то х₀ — точка локального мак­симума;

если f(x) меняет знак с' — 'на' + ', то x₀ — точка локального ми­нимума.

6. Дать определение выпуклости и вогнутости графика и его точек перегиба.

Определение. Функция у= f{x) называется выпуклой вниз или просто выпуклой (соответственно, выпуклой вверх или вогнутой) в точке х₀, если в этой точке существует касательная к графику, т.е. 3 f{x₀), и в некоторой окрестности точки х₀ график функции лежит над (соответственно, под) касательной.

Определение. Точки, в которых функция меняет направление вы­пуклости, т.е. меняет выпуклость на вогнутость или вогнутость на выпуклость, называются точками перегиба.

7. Какова связь между выпуклостью и вогнутостью графика и знаком ее второй производной?

Пусть функция у = f(х) имеет вторую производную в окрестности точки х₀, которая непрерывна в этой точке. Тогда если f"(х₀) > 0, то у = f(x) выпукла, а если f'(x₀) < 0, то у = f{x) вогну­та в точке х₀.

Доказательство. Применим формулу Тейлора с остаточным чле­ном в форме Лагранжа для функции f(х) в точке х₀ при x=1:

где с — некоторая точка в интервале (х₀, х). Или

Если теперь f "(x₀) > 0, то в силу непрерывности f"(с)≥0 в некото­рой окрестности точки х₀, поэтому f(х) — у(х)≥0 функция выпукла. Если же f"(х₀) < 0, то f'(с) < 0 поэтому f(х) — у(х) ≤0 и функция вогнута в точке х₀. ■

Замечание (мнемоническое правило). Сделаем общее замечание о запоминании формул (о контроле памяти). Если вы забыли некото­рое универсальное (которое действует всегда) правило, посмотрите, как оно действует в простейшем частном случае. В частности, если вы забыли, какие знаки второй производной соответствуют выпуклости и вогнутости, представьте себе мысленно графики функций у = х² и у= =—х². Парабола у = х² выпукла, а у" = 2 > 0. Так же должно быть всегда. В школе для запоминания применяют «правило дождя».

Замечание. Выпуклые и вогнутые функции можно охарактери­зовать также следующим геометрическим свойством.

Мы видим, что если функция выпуклая (вогнутая), то при возраста­нии х касательные в точках х становятся более крутыми (пологими), т.е. угол наклона касательных возрастает (убывает). За угол наклона касательных отвечает f(x) = tgct. Поэтому если функция f(x) выпук­лая, то f{x) возрастает и, следовательно, f'(x) > 0. И наоборот.

 

8. Сформулируйте достаточные условия существования то­чек перегиба.

Если функция f(x) имеет непрерывную вторую производную f"(x) и в точке х₀ f"(x) ме­няет знак, то х₀ — точка перегиба.

9. Что называется асимптотой кривой? Что можно сказать о функции, если она имеет горизонтальную (вертикальную) асимптоту?

Определение. Асимптота кривой γ — это прямая, к которой эта кри­вая неограниченно приближается на бесконечности, т.е. это такая прямая 1, для которой расстояние d от точки Me у до l стремится к нулю, когда точка М удаляется по кривой на бесконечность. Более точ­но, асимптота—это луч. Если кривая приближается к лучу, т.е. к одно­му «концу прямой», то говорят, что эта прямая является односторон­ней асимптотой. Если кривая приближается к «обоим концам» пря­мой, то прямая является двусторонней асимптотой. Асимптотой фун­кции f(x) называется асимптота ее графика γ: у = f(x).

1. Если функция имеет горизонтальную асимптоту то, уравнение асимптоты имеет вид у = b = const

2. Если функция имеет вертикальную асимптоту то, что график функции “уходит на бесконечность” при x → x₀ и уравнение асимптоты имеет вид x= x₀ = const.

10. Необходимое и достаточное условие существования на­клонной асимптоты.

2. Теоретические упражнения

1. Найти производную (если она существует) функции

в точках х₁ = 0.5, х₂ = —0.5, х₃ = 0.

Решение:

2. Показать, что функция изменяется монотон­но в любом интервале из области ее существования.

Решение:

Т. К. Корни получились чётной кратности, следовательно знак производной не изменяется, следовательно функция изменяется монотон­но в любом интервале из области ее существования.

3. При каких значениях параметра а функция

непрерывна? Постройте ее график.

Решение:

4. Выяснить вид графика функции у = f(x), если известно, что в интервале (а; b ):

(1) у>0, y ' >0, у"<0; (2) у>0, у' <0, у">0.

Решение:

 

5. Найти асимптоты линии

6. Какое положительное число, будучи сложенным с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?

Решение:

7. Доказать, что всякий четный многочлен с положитель­ными коэффициентами является выпуклым вниз и имеет только одну точку минимума.

Решение:

─ min + x

 

8. Доказать, что уравнение x⁵ + 3x—6 = 0 имеет единствен­ный действительный корень.

Решение:

x⁵ = — 3x + 6

y₁= x⁵ —возрастающая функция;

y₂= — 3x + 6 — убывающая функция.

y₁ и y₂= могут пересечься один раз.

Уравнение x⁵ + 3x—6 = 0 имеет единствен­ный действительный корень.

9. Доказать, что если дифференцируемая функция четна (нечетна), то ее производная нечетна (соответственно чет­на).

Решение:

y=x2k — чётная функция.

y=2kx2k-1 — нечётная функфия.

y=x2k-1 — нечётная функфия.

y=(2k-1)x2(k-1) — чётная функция

 

10. Выполняется ли на отрезке [—1, 2] теорема Ролля для функции у = х³ + 4х² — 7х — 10?

Решение:

При x= —1, y=0; при x= 2, y=0;

y’=3x2+8x — 7

y’=0

3x2+8x — 7=0

x₁ 0.69 или x₁ — 3.36

Теорема Ролля для функции у = х³ + 4х² — 7х — 10 на отрезке [—1, 2] не выполняется.

3 Задачи

Исследовать функции y=y(x) и построить их графики:

1. Исследование:

1) D(y): (- ;2)υ(-2;2)υ(2;+ );

2) E(y): (- ;+ );

3) Функция общего вида;

4) Функция не периодическая;

5) Функция имеет разрывы:

а. x=0 у=3;

б. y=0 x — таких точек нет.

в. x→+ ; y→0;

x→- ; y→0;

г. x=2 и x= — 2 точки разрыва второго рода.

x→ -2+0; y→ + ;

x→ -2+0; y→ - ;

x→2+0; y→ - ;

x→2-0; y→ + ;

д.

6) Асимтоты:

x = —2; x = 2 —вертикальные асимптоты;

y = 0 —горизонтальные асимтоты.

7) Функция дифференцируема на (- ;2)υ(-2;2)υ(2;+ );

8)

Уmin=3 при x=0.

9) Функция дважды дифференцируема на (- ;2)υ(-2;2)υ(2;+ );

10)

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

Построение графика функции:

2. Исследование:

1) D(y): [1;+ );

2) E(y): (0;1];

3) Функция нечётная;

4) Функция не периодическая;

5) Функция непрерывная:

а. x=0 у — таких точек нет;

б. y=0 x — таких точек нет.

в. x→+ ; y→0;

x→- ; y→0;

г.

x

Точки разрыва нет.

д.

6) Асимтот нет.

7) Функция дифференцируема на (1;+ );

8)

Уmax=1 при x=2.

9) Построение графика функции:

2 1 -1

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

x