Теорема Ролля (М.Ролль, 1652-1719).
Если функция у = f(x) удовлетворяет условиям:
(i) f(x) непрерывна на отрезке [а, b];
(ii) существует производная f(x) в интервале (а, b);
(iii) f(a) = f(b), т. е. на концах отрезка функция принимает одинаковые значения, то существует точка с Є (а, b) такая, что f'(c) = 0.
Геометрический смысл теоремы Роля:
В том, что существует точка, в которой касательная горизонтальна.
Причина этого состоит в том, что функция, принимающая на концах отрезка одинаковые значения, внутри отрезка имеет либо максимум, либо минимум.
Замечание: Если хотя бы одно из условий (i) — (iii) теоремы не выполняется, то теорема Ролля может быть неверна.
Теорема Коши (О.Л.Коши, 1789-1857).
Если функции у = f(x) u y=g(х) удовлетворяют условиям:
(i) f(x) и q(х) непрерывны на отрезке [а, b];
(ii) существуют производные f ‘(x) и g'(х) в интервале (а,b);
(iii) g'(х) ≠ 0 в интервале (а, b), то существует точка с Є (а, b), для которой выполняется равенство
|
Теорема Лагранжа (Ж.Л.Лагранж, 1736-1813).
Если функция у = f{x) удовлетворяет условиям:
(i) f(x) непрерывна на отрезке [а, b];
(ii) существуют производная f ’(x) в интервале (а, b), то существует точка сЄ (а, b), для которой выполняется равенство
|
2. Какова связь между возрастанием и убыванием функции и знаком ее производной?
Если у функции у = f(x) существует производная на интервале (а, b), то
функция f(x) возрастает <=> f '{x) > 0 и функция f(x) убывает <=> f ' (х) < 0
3. Какая точка называется точкой локального экстремума функции?
Точка х0 называется точкой локального максимума (соответственно, минимума) функции f(х), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f{x0) ≥ f (х) (соответственно f{x0) ≤ f(x)). Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума.
4. Как расположена касательная к графику функции в точке экстремума?
Касательная к графику функции в точке экстремума расположена параллельно оси Ox. Т.к производная функции в этой точке равна нулю и численно совпадает с угловым коэффициентом касательной к кривой, проведенной в этой точке.
5. Сформулировать достаточные условия экстремума функции.
Если функция f{x) непрерывна в окрестности точки х0, имеет производную в проколотой окрестности этой точки и если f{x) меняет знак в точке х0, то х0 — точка локального экстремума. Более точно:
если f{x) меняет знак с' + 'на' — ', то х0 — точка локального максимума;
если f(x) меняет знак с' — 'на' + ', то x0 — точка локального минимума.
6. Дать определение выпуклости и вогнутости графика и его точек перегиба.
Определение. Функция у= f{x) называется выпуклой вниз или просто выпуклой (соответственно, выпуклой вверх или вогнутой) в точке х0, если в этой точке существует касательная к графику, т.е. 3 f{x0), и в некоторой окрестности точки х0 график функции лежит над (соответственно, под) касательной.
Определение. Точки, в которых функция меняет направление выпуклости, т.е. меняет выпуклость на вогнутость или вогнутость на выпуклость, называются точками перегиба.
7. Какова связь между выпуклостью и вогнутостью графика и знаком ее второй производной?
Пусть функция у = f(х) имеет вторую производную в окрестности точки х0, которая непрерывна в этой точке. Тогда если f"(х0) > 0, то у = f(x) выпукла, а если f'(x0) < 0, то у = f{x) вогнута в точке х0.
Доказательство. Применим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции f(х) в точке х0 при x=1:
где с — некоторая точка в интервале (х0, х). Или
Если теперь f "(x0) > 0, то в силу непрерывности f"(с)≥0 в некоторой окрестности точки х0, поэтому f(х) — у(х)≥0 функция выпукла. Если же f"(х0) < 0, то f'(с) < 0 поэтому f(х) — у(х) ≤0 и функция вогнута в точке х0. ■
Замечание (мнемоническое правило). Сделаем общее замечание о запоминании формул (о контроле памяти). Если вы забыли некоторое универсальное (которое действует всегда) правило, посмотрите, как оно действует в простейшем частном случае. В частности, если вы забыли, какие знаки второй производной соответствуют выпуклости и вогнутости, представьте себе мысленно графики функций у = х2 и у= =—х2. Парабола у = х2 выпукла, а у" = 2 > 0. Так же должно быть всегда. В школе для запоминания применяют «правило дождя».
Замечание. Выпуклые и вогнутые функции можно охарактеризовать также следующим геометрическим свойством.
Мы видим, что если функция выпуклая (вогнутая), то при возрастании х касательные в точках х становятся более крутыми (пологими), т.е. угол наклона касательных возрастает (убывает). За угол наклона касательных отвечает f(x) = tgct. Поэтому если функция f(x) выпуклая, то f{x) возрастает и, следовательно, f'(x) > 0. И наоборот.
8. Сформулируйте достаточные условия существования точек перегиба.
Если функция f(x) имеет непрерывную вторую производную f"(x) и в точке х0 f"(x) меняет знак, то х0 — точка перегиба.
9. Что называется асимптотой кривой? Что можно сказать о функции, если она имеет горизонтальную (вертикальную) асимптоту?
Определение. Асимптота кривой γ — это прямая, к которой эта кривая неограниченно приближается на бесконечности, т.е. это такая прямая 1, для которой расстояние d от точки Me у до l стремится к нулю, когда точка М удаляется по кривой на бесконечность. Более точно, асимптота—это луч. Если кривая приближается к лучу, т.е. к одному «концу прямой», то говорят, что эта прямая является односторонней асимптотой. Если кривая приближается к «обоим концам» прямой, то прямая является двусторонней асимптотой. Асимптотой функции f(x) называется асимптота ее графика γ: у = f(x).
1. Если функция имеет горизонтальную асимптоту то, уравнение асимптоты имеет вид у = b = const
2. Если функция имеет вертикальную асимптоту то, что график функции “уходит на бесконечность” при x → x0 и уравнение асимптоты имеет вид x= x0 = const.
10. Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты.
2. Теоретические упражнения
1. Найти производную (если она существует) функции
в точках х1 = 0.5, х2 = —0.5, х3 = 0.
Решение:
2. Показать, что функция 
изменяется монотонно в любом интервале из области ее существования.
Решение:
Т. К. Корни получились чётной кратности, следовательно знак производной не изменяется, следовательно функция изменяется монотонно в любом интервале из области ее существования.
3. При каких значениях параметра а функция
непрерывна? Постройте ее график.
Решение:
4. Выяснить вид графика функции у = f(x), если известно, что в интервале (а; b ):
(1) у>0, y ' >0, у"<0; (2) у>0, у' <0, у">0.
Решение:
 | |||
 | |||
5. Найти асимптоты линии 
6. Какое положительное число, будучи сложенным с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?
Решение:
7. Доказать, что всякий четный многочлен с положительными коэффициентами является выпуклым вниз и имеет только одну точку минимума.
Решение:
|
8. Доказать, что уравнение x5 + 3x—6 = 0 имеет единственный действительный корень.
Решение:
x5 = — 3x + 6
y1= x5 —возрастающая функция;
y2= — 3x + 6 — убывающая функция.
y1 и y2= могут пересечься один раз.
Уравнение x5 + 3x—6 = 0 имеет единственный действительный корень.
9. Доказать, что если дифференцируемая функция четна (нечетна), то ее производная нечетна (соответственно четна).
Решение:
y=x2k — чётная функция.
y=2kx2k-1 — нечётная функфия.
y=x2k-1 — нечётная функфия.
y=(2k-1)x2(k-1) — чётная функция
10. Выполняется ли на отрезке [—1, 2] теорема Ролля для функции у = х3 + 4х2 — 7х — 10?
Решение:
При x= —1, y=0; при x= 2, y=0;
y’=3x2+8x — 7
y’=0
3x2+8x — 7=0
x1 
0.69 или x1 — 3.36
Теорема Ролля для функции у = х3 + 4х2 — 7х — 10 на отрезке [—1, 2] не выполняется.
3 Задачи
Исследовать функции y=y(x) и построить их графики:
1. Исследование: 
1) D(y): (- 
;2)υ(-2;2)υ(2;+ );
2) E(y): (- ;+ );
3) Функция общего вида;
4) Функция не периодическая;
5) Функция имеет разрывы:
а. x=0 у=3;
б. y=0 x — таких точек нет.
в. x→+ ; y→0;
x→- ; y→0;
г. x=2 и x= — 2 точки разрыва второго рода.
x→ -2+0; y→ + ;
x→ -2+0; y→ - ;
x→2+0; y→ - ;
x→2-0; y→ + ;
д. 
6) Асимтоты:
x = —2; x = 2 —вертикальные асимптоты;
y = 0 —горизонтальные асимтоты.
7) 
Функция дифференцируема на (- ;2)υ(-2;2)υ(2;+ );
8)
 |
Уmin=3 при x=0.
9) Функция дважды дифференцируема на (- ;2)υ(-2;2)υ(2;+ );
 |
 |
 |
10)
|
2. Исследование: 
1) D(y): [1;+ );
2) E(y): (0;1];
3) Функция нечётная;
4) Функция не периодическая;
5) Функция непрерывная:
а. x=0 у — таких точек нет;
б. y=0 x — таких точек нет.
в. x→+ ; y→0;
x→- ; y→0;
г. 
|
д. 
6) Асимтот нет.
7) Функция дифференцируема на (1;+ );
8)
Уmax=1 при x=2.
 |
9) Построение графика функции:
 |
|
|
|
