Выч-е объемов тел с пом.опред.интеграла

Объем прямоугольного параллелепипеда

Th) Объем прям парал-да м.б. найден по формуле V=abc (1), где a, b, c – длины ребер этого парал-да, выходящих из одной вершины.

Доказательство:

1.Докажем, что формулу (1) для случая, когда длины всех ребер парал-да выражаются рациональными числами.Приведем числа a, b, c к общему знаменателю.

Пусть a=m/n, b=k/n, c=p/n.

Разделим ребра на m, k. р равных частей и проведем через точки деления плоскости, параллельные граням парал-да, которые разделяют парал-д на m, k. р равных кубиков с ребром 1/n. По следствию из св-в объема:

V каждого кубика = 1/n³

Из свойств 2) и 3) Þ V= mkp*(1/n³) = abc (ед³), т.о. (1) – доказана.

1.Пусть длины 2-х ребер–рац.числа,пусть a и b-рац числа, а n Î N и определим р Î N, что p/n£c£(p+1)/n.

Рассмотрим два парал-да с ребрами a, b, (p+1)/n.

V1(V=ab(p/n)) = V2(ab(p+1)/n) – случай №1. Если V – объем рассм парал-да, то из свойств объема Þ или (*)

Но из неравенств: Þ p£ nc, p>nc – 1

Заменим в левой части неравенства (*) р меньшей величиной (nc - 1), а в правой части – большей величиной (nc). Получим или , оно верно при всех N 'n, это возможно лишь когда V=abc.

1.Предположим, что а–одно ребро–рац.число, как в случае 2: 2 парал-да с ребрами a, b, (р+1)/n.

V(ab(p/n)) = V(ab(p+1)/n), т.к. у каждого парал-да 2 ребра (по крайней мере) – рац числа. Дальше по аналогии с пунктом 2.

2. a, b, c – иррациональные числа – сводится к пункту 3.

Вопрос:почему же рассм.именно прям.пар-д?

1)Т.к. к 11 классу расширяется мн-во чисел;

2)Основная фигура – это прямоуг парал-д.

Выч-е объемов тел с пом.опред.интеграла

Пусть нужно вычислить объема тела Т, оно заключено м/у 2-мя пл-ми a и b,они //-ны. Пусть есть с-ма коор-т,ось ОХ^a,ОХ^b, где a и b – f,абсциссы точек пересеч-я оси ОХ с этими пл-тями (a<b).Пусть сеч-е тела пл-тью Ф(х),проходит ч/з точку х и ^ОХ

-Либо круг;

-Либо многоугольник; для "х Î [a, b]

При х = а и х = b – сечение вырождается в точку. Пусть S фигуры Ф(х) = S(x) и что S(x) – непрерывная функция на [a,b]. Разобьем [a,b] на n равных отрезков

и пл-ть ч/з х _i ^ОХ (рис.1).Они разбивают тело Т на n тел Т1, Т2, …, Тn. Если Ф(х _i) – круг, то V(T _i)» V цилиндра с основанием

Ф(х _i) и h = D х _I = х _I - х _{I -1} =(b-a)/n.

Если Ф(х)–многоуг-к, то V(T _i)» V прям.призмы с осн-ем Ф(х _i) и h = D х _I Þ V(T _i)» S(х _i)* D х _I, а V(T)» Vn»

1)

2) Vn – интеграл

S для непрерывной функции S(x) на [a,b] Þ

- основная формула для вычисления объемов тел.

 

Применение определенного интеграла для вывода формулы пирамиды

 

S _ABC = S, OM = h,

Рассмотрим отрезок [0; n]

Пусть А₁В₁С₁ – сечение (А₁В₁С₁) ^ ОХ

D А₁В₁С₁ ~ D АВС D О₁А₁В₁ ~ D ОАВ

OA₁/OA=A₁B₁/AB D ОА₁М ~ D ОАМ

OA₁/OA=A₁M₁/AM=OM₁/OM=x/h

A₁B₁/AB=x/h

SABC – ф-я от х и непрерывна на [0; n]

Отличие от общего случая – нет деления на n частей. В настоящее время в учебниках учащиеся м. познакомиться еще с одним подходом для вывода формул V тел, который называется принципом Кавальери (Шарыгин, Смирнов). Его суть: будем считать, что тело F расположено по одну сторону от плоскости b, если F имеет с плоскостью b, по крайней мере, одну точку, а все его точки, Ï - ие плоскости b лежат по одну сторону от нее. Пусть 2 тела F1 и F2 – расположены по одну сторону от b, если сечение тел F1 и F2 всякой плоскостью, параллельной плоскости b равновелики, то тела F1 и F2 – имеют равные объемы. Для обоснования принципа представим оба тела F1 и F2, состоящие из тонких слоев одинаковой толщины, кот получаются при пересечении тел плоскостями, паралл-ми b. Пусть эти слои – прямые цилиндры, т.к. имеют одинаковую толщину, т.е. равные высоты и равновеликие основания, то объемы слоев равны. Суммируя объемы цилиндров тел F1 и F2, приходим к равенству объемов приближенно. Если число слоев ® к ¥ -но большому числу, то приближенное равенство становится точным.