Линейные операции с векторами
Основы теории
Правило "конец минус начало"
Векторное равенство 
является следствием формулы сложения векторов 
. Если задано начало отсчета O, то с каждой точкой M связывают ее радиус-вектор 
. Тогда для двух точек M 1 и M 2 вектор 
. Положение начала отсчета часто бывает несущественно, тогда это равенство можно записать несколько иначе: 
(правило “конец минус начало”).
Базис и координаты
Базис на плоскости состоит из двух неколлинеарных векторов e 1 e 2. Любой вектор a можно разложить по базису: a = a 1 ×e 1 + a 2 ×e 2. Координатами вектора a в базисе e 1, e 2 называются коэффициенты a 1, a 2 в разложении этого вектора. Координаты вектора определяются однозначно. Если базис зафиксирован, вектор можно кратко записать через его координаты a = { a 1, a 2}.
Базис в трехмерном пространстве состоит из трех некомпланарных векторов
e 1, e 2, e 3. Любой вектор a можно разложить по базису: a = a 1 ×e 1+ a 2 ×e 2+ a 3 ×e 3.. Координатами вектора a в базисе e 1, e 2, e 3 называются коэффициенты a 1, a 2, a 3 в разложении этого вектора. Координаты вектора определяются однозначно. Если базис зафиксирован, вектор можно кратко записать через его координаты a = { a 1, a 2, a 3}.
При сложении (вычитании) векторов соответствующие координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Это справедливо как для координат на плоскости, так и в трехмерном пространстве.
Система координат на плоскости (в трехмерном пространстве) определяется заданием начальной точки O и базиса e 1, e 2 (e 1, e 2, e 3). Ориентированные прямые, несущие базисные векторы, называются осями координат. Обычно их обозначают Ox, Oy, Oz.
С каждой точкой M связывают ее радиус-вектор . Его координаты в базисе, связанном с системой координат, называются координатами точки M. Если 
= x ×e 1+ y ×e 2+ z ×e 3, координаты точки M записываются в виде M (x,y,z). (На плоскости берутся только координаты x,y). Если заданы две точки M 1(x 1 ,y 1 ,z 1) и M 2(x 2 ,y 2 ,z 2), то вектор 
={ x 2– x 1, y 2– y 1, z 2– z 1}.
Деление отрезка в заданном отношении
Дан отрезок M 1 M 2 и число l. Требуется найти на отрезке такую точку M, что отношение длин 
.
Будем считать, что точки M 1 и M 2 заданы их радиус-векторами относительно некоторой точки O: 
= r 1, 
= r 2 и будем искать радиус- вектор = r.
Отношение длин запишем в векторной форме: 
, по правилу "конец минус начало" имеем 
= r – r 1, 
= r 2– r, откуда
r – r 1= l×(r 2– r).
Разрешив это уравнение относительно неизвестного вектора r, получим формулу деления отрезка в заданном отношении в векторной форме:
,
в координатной форме 
, 
, 
,
Важный частный случай: при l=1 имеем деление отрезка пополам:
,
в координатной форме 
, 
, 
.
В первоначальной постановке задачи отношение l > 0, но это ограничение можно снять, считая l любым, отличным от –1. При l > 0 говорят, что отрезок делится внутренним образом, а при l < 0 – внешним образом. На рисунке показаны положения точки M при некоторых значениях l; при l® –1 точка M "уходит в бесконечность".
 |
Центр тяжести (центр масс)
Точка P – центр тяжести системы двух материальных точек P 1, P 2 с массами m 1, m 2 делит отрезок P 1 P 2 в отношении, обратном отношению масс: 
.
Центр тяжести системы материальных точек P 1, P 2,¼ с массами m 1, m 2,¼ – точка С, радиус-вектор которой 
Центр тяжести однородного отрезка – его середина, масса отрезка пропорциональна его длине. Пусть имеется система однородных отрезков с длинами
L 1, L 2,¼ и центрами тяжести C 1, C 2,¼ Заменив каждый отрезок материальной точкой, расположенной в его центре тяжести, сведем задачу к задаче о центре тяжести системы материальных точек.
Центр тяжести однородного прямоугольника – его геометрический центр (точка пересечения диагоналей, она же точка пересечения средних линий). Центр тяжести однородного треугольника – точка пересечения медиан. Пусть имеется пластинка, которую можно разбить на несколько фигур с площадями
S 1, S 2,¼и центрами тяжести C 1, C 2,¼ Заменив каждую фигуру материальной точкой, расположенной в центре тяжести и имеющей массу, пропорциональную площади, сведем задачу к задаче о центре тяжести системы материальных точек.
Решение задач
Р 2.1. (Мод 109) Даны две вершины треугольника ABC: A (–4,–1,2) и B (3,5,–16). Найти третью вершину C, зная, что середина стороны AC лежит на оси Oy, а середина стороны BC – на плоскости Oxz.
Решение. Пусть координаты третьей вершины C (x, y, z), тогда координаты середины стороны AC суть 
, 
, 
. По условию эта точка лежит на оси Oy, поэтому 
, 
, откуда y = 4, z = –2. Координаты середины стороны BC суть 
, 
, 
. По условию эта точка лежит на плоскости Oxz, поэтому 
, откуда y = –5. Таким образом, имеем
C (4,–5,–2).
Р 2.2. Найти точку M пересечения медиан треугольника ABC.
Решение. Радиус-векторы вершин треугольника суть 
, 
, 
. Радиус-вектор точки C' (середины стороны AB) 
. По теореме школьной геометрии точка пересечения медиан делит отрезок CC' в отношении l = 2, поэтому
(среднее арифметическое).
В координатах
, 
, 
.
Р 2.3. (Мод 11) На стороне AD параллелограмма ABCD отложен вектор 
, а на диагонали AC – вектор 
. Докажите, что векторы 
и 
коллинеарны и найдите коэффициент l в соотношении 
.
Решение. Выразим все векторы через два базисных вектора 
и 
. Имеем 
, 
, 
. Векторы 
и выразим по правилу "конец минус начало":
,
.
Сравнивая разложения векторов и по базису, видим, что 
, т.е. эти векторы коллинеарны, коэффициент 
.
Р 2.4. (Мод 106) Найти координаты центра тяжести проволочного треугольника со сторонами 3, 4, 5. Ось Ox направлена по меньшему катету, ось Oy – по большему катету.
Решение. Длины и координаты центров тяжести сторон треугольника OAB:
OA: L 1=3, C 1(
,0);
OB: L 2=4, C 2(0,2);
AB: L 3=5, C 3(,2).
По формуле находим координаты точки C (центра тяжести проволочного треугольника):
,
.
Замечание. Центр тяжести треугольника OAB, вырезанного из однородного плоского материала – точка пересечения медиан M. Для любого треугольника координаты этой точки суть средние арифметические координат вершин треугольника (см. Р 2.2)
, 
.
Видим, что точки C и M не совпадают. Если в вершинах разместить равные (например, единичные) массы, центр тяжести такой системы материальных точек также будет находиться в точке M.
Еще один способ получить ту же точку M: считать, что в вершинах треугольника C 1 C 2 C 3 расположены равные массы, не зависящие от длин сторон, и найти точку пересечения медиан этого треугольника.
Р 2.5. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (размеры указаны на рис. 2.5).
Решение. Площади и координаты центров тяжести трех прямоугольников, на которые разбита пластинка, суть
x 1=10, y 1=5, S 1=200; x 2=10, y 2=20, S 2=400; x 3=25, y 3=20, S 3=200.
Подставив эти числа в формулу, найдем координаты центра тяжести пластинки
x =13.75, y =16.25,
он лежит на оси симметрии пластинки (см. рис. 2.5).
Замечание. Данную задачу можно решить без всяких вычислений, простыми геометрическими построениями (см. рис. 2.6). Объединим первый и второй прямоугольники в один и найдем его центр тяжести (на рисунке это точка C 12). Очевидно, что центр тяжести пластинки лежит на отрезке, соединяющем эту точку с центром тяжести третьего прямоугольника C 3. Таким же образом найдем общий центр второго и третьего прямоугольника (на рисунке это точка C 23). Центр тяжести пластинки лежит на отрезке, соединяющем эту точку с центром тяжести первого прямоугольника C 1. Окончательно приходим к выводу: центр тяжести пластинки C – точка пересечения отрезков C 12 C 3. и C 1 C 23.
