Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке

на отрезке

Задача №3

Найти экстремумы и интервалы монотонности функций.

Задача №4

Найти асимптоты следующих кривых.

Задача №5

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функций.

Задача №6

Построить графики функций.

Задача №7

Найти частные производные и следующих функций.

Задача №8

Найти в точке A градиент функции и производную по направлению вектора .

Задача №9

Найти экстремумы функции двух переменных:

Решение задачи №1

Сначала находим производную в произвольной точке , а затем производим вычисления в конкретной точке , соблюдая следующий порядок действий:

находим значение ;

находим производную ;
подставляя найденные значения в уравнения касательной и нормали (20) и (21), получаем нужные уравнения касательной и нормали.

1) Имеем: .

Для точки с абсциссой в точке находим:

;
;
– уравнение касательной;

– уравнение нормали.

Для точки с абсциссой в точке находим:

;
;
– уравнение касательной;

– уравнение нормали.

Для точки с абсциссой в точке находим:

;
;
– уравнение касательной;

– уравнение нормали.

2) Имеем: .

Для точки с абсциссой в точке находим:

;
;
– уравнение касательной;

– уравнение нормали.

Для точки с абсциссой в точке находим:

;
;
– уравнение касательной;

– уравнение нормали.

Для точки с абсциссой в точке находим:

;
;
– уравнение касательной;

– уравнение нормали.

Решение задачи №2

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на данном отрезке могут достигаться в критических точках функции (т.е. в точках, в которых или не существует) или на концах отрезка . Порядок действий таков:

проверяем, что заданная функция на данном отрезке является непрерывной;
ищем производную заданной функции (там, где она существует);
находим критические точки функции и выбираем из них те, которые принадлежат интервалу ;
вычисляем значения функции в критических точках внутри отрезка и значения функции на концах отрезка; сравнивая полученные значения, находим наибольшее и наименьшее значения функции на .

1) Рассмотрим функцию на отрезке .

· Заданная функция является многочленом, а многочлен имеет производную в каждой точке прямой. По лемме 3 из лекции 6 данная функция непрерывна на отрезке .

· Вычисляем производную функции: .

· Находим критические точки: . Данному отрезку принадлежит только точка .

· Вычисляем значение функции в точке и значения функции на концах заданного отрезка. Имеем:

, , .

Сравнивая эти значения, заключаем, что наименьшее значение функции достигается в точке и оно равно , а наибольшее значение функции достигается в точке и оно равно 27.

2) Рассмотрим функцию на отрезке .

· Заданная функция является дробно-рациональной функцией, которая дифференцируема во всех точках, в которых знаменатель неравен нулю. Знаменатель обращается в нуль в точке , которая не принадлежит отрезку . По лемме 3 из лекции 6 данная функция непрерывна на отрезке .

· Вычисляем производную функции: .

· Так как , то критических точек нет.

· наибольшее и наименьшее значения функции достигаются в граничных точках отрезка: ; .

Решение задачи №3

План исследования функции на экстремум с помощью первой производной таков:

находим область определения функции ;
находим ;
находим критические точки функции (то есть те точки, в которых или не существует); пусть этими точками будут точки с абсциссами , которые расположены в порядке их возрастания;
разбиваем критическими точками на интервалы и внутри каждого интервала методом пробных точек находим знак ; все действия оформляем в виде таблицы (см. примеры 21–25 из лекции 8);
используя теоремы 17 и 18 из лекции 8, определяем, на каких интервалах данная функция возрастает, на каких убывает, а также находим точки локального экстремума.

1) Рассмотрим функцию .

· Очевидно, что .

· Производная существует на всей числовой оси. Вычисляем: .

· Решаем уравнение : , – критические точки.

· Все дальнейшие действия оформляем в виде таблицы:


–		–		+

	нет extr		min

Первая строка – это область определения функции, раздробленная на интервалы критическими точками. Выберем внутри каждого из этих интервалов произвольную точку и определим в этой точке знак первой производной . В интервале возьмем, например, точку и получаем ; в интервале возьмем точку и получаем ; в интервале возьмем точку и получаем (вместо этих точек в каждом из интервалов можно взять любые другие точки – результат будет тот же самый). Полученную информацию заносим во вторую строку таблицы.

Применяя теорему 17, заключаем, что на интервалах и функция строго монотонно убывает, а на интервале – строго монотонно возрастает. Используя теорему 18, приходим к заключению, что в критической точке экстремума нет (как убывала функция до этой точки, так и убывает после нее); в критической точке имеем локальный минимум. Полученные результаты заносим в третью и четвертую строки таблицы.

2) Рассмотрим функцию .

.
.
: , .
Составляем таблицу:


–		+		–

	min		max

Ясно, что – точка минимума, а ; – точка максимума, причем .

3) Рассмотрим функцию .

.
.
, – критические точки.
Строим таблицу:

	–3
–		+	+		–

	min			max

Заметим, что мы не внесли в первую строку таблицы значение аргумента , так как оно не входит в . Итак, получаем: – точка минимума и , а – точка максимума, причем .

4) Рассмотрим функцию .

.
.
, – критические точки.
Строим таблицу:


+		–	–		+
	-4
	max			min

Итак, – точка максимума и , – точка минимума и .

5) Рассмотрим функцию .

, так как логарифм существует только для положительных значений аргумента.
.
– критическая точка.
Строим таблицу:


–		+

	min

Решение задачи №4

1) Функция есть несократимая дробно-рациональная функция (т.е. ее числитель и знаменатель не имеют одинаковых корней). По теореме 21 из лекции 9 каждый корень ее знаменателя порождает вертикальную асимптоту . Имеем: . Таким образом, — вертикальная асимптота графика функции .

По той же теореме 21 правосторонние и левосторонние наклонные асимптоты дробно-рациональной функции совпадают и вычисляются по формуле , где и (формулы (29)-(30) в лекции 9). Имеем:

, .

Таким образом, — наклонная асимптота графика функции (на самом деле эта асимптота является горизонтальной, так как прямая параллельная оси ).

2) Эта задача решается точно так же, как предыдущая. Приравниваем знаменатель рассматриваемой функции к нулю: Имеем две вертикальные асимптоты: и .

Далее, , . Таким образом, прямая (т.е. ось ) является наклонной (горизонтальной) асимптотой функции .

3) Знаменатель функции не имеет корней, поэтому эта функция не имеет вертикальных асимптот.

Найдем наклонную асимптоту. Имеем:

, .

Получаем наклонную асимптоту .

4) Функция не является дробно-рациональной, поэтому нахождение ее вертикальных и наклонных асимптот следует производить непосредственно по формулам (28)–(30). Эта функция определена . Сначала будем искать вертикальные асимптоты. Имеем:

, следовательно, по теореме 19 прямая является правосторонней вертикальной асимптотой;

, следовательно, по теореме 19 прямая не является левосторонней вертикальной асимптотой.

Теперь будем искать наклонные (правосторонние и левосторонние) асимптоты. Имеем:

, , следовательно, по теореме 20 прямая является наклонной (горизонтальной) правосторонней асимптотой;

, , следовательно, по теореме 20 прямая является наклонной (горизонтальной) левосторонней асимптотой.

Решение задачи №5

Нахождение точек перегиба и интервалов выпуклости функции производится по той же схеме, что и нахождение точек локального экстремума и интервалов монотонности, только здесь вместо первой производной используется вторая производная (см. лекцию 10).

1) Рассмотрим функцию .

· .

· — точка, подозрительная на перегиб.

· Строим таблицу:


–		+

	перегиб

Поясним построение таблицы. Ясно, что на интервале выполняется неравенство , а на интервале — неравенство . Поэтому по теореме 23 на первом интервале функция строго выпукла вверх, а на втором — строго выпукла вниз. Применяя теорему 26, получаем, что — точка перегиба.

2) Рассмотрим функцию .

.
.
.
— точка, подозрительная на перегиб.
Строим таблицу:


–		+

	перегиб

3) Рассмотрим функцию .

.
.
.
, .
Строим таблицу:


+		–		+

	перегиб		перегиб

Рассмотрим функцию.

.
.
.
.
Составим таблицу:


–		+

	перегиб

Отметим, что для определения знака функции на интервале может быть взята точка , а на интервале — точка .

Решение задачи №6

Под полным исследованием функции и построением графика понимается следующая последовательность действий:

нахождение — области определения функции;
определение интервалов возрастания и убывания и локальных экстремумов функции; построение соответствующих элементов графика;
определение асимптот графика функции; построение ветвей графика, уходящих на бесконечность;
исследование на выпуклость; уточнение поведения графика.

1) Рассмотрим функцию .

.
Определяем интервалы возрастания и убывания функции и экстремум функции: ; , , – критические точки.Составляем таблицу:

	–2
–		+		–		+

	min		max		min

Переходим к определению асимптот графика. Так как функция непрерывна на всей числовой оси, то вертикальных асимптот нет. По теореме 21 у многочлена степени выше первой наклонных асимптот также нет.
Определим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба:

; , –точки, подозрительные на перегиб.

Составляем таблицу:


+		–		+

	перегиб		перегиб

Построим теперь график функции:

2) Рассмотрим функцию .

.
Определяем интервалы возрастания и убывания функции и локальные экстремумы функции: ; – критическая точка. Составим таблицу:


+	+		–	–
		–1
		max

Переходим к определению асимптот графика. По теореме 21 вертикальные асимптоты порождаются корнями знаменателя дробно-рациональной функции. Таким образом, и — вертикальные асимптоты графика функции . Точно так же, как в пунктах 1) и 2) задачи №4, показывается, что наклонная асимптота имеет вид .
Определим интервалы выпуклости и точки перегиба:

точек перегиба нет. Построим таблицу:


+	–	+

Построим теперь график функции:

Решение задачи №7

Для того чтобы найти частную производную функции по переменной , фиксируем переменную и дифференцируем как функцию одной переменной . Наоборот, для того чтобы найти частную производную функции по переменной , фиксируем переменную и дифференцируем как функцию одной переменной .

1) .

Имеем:

;

2) .

Имеем:

;

Имеем:

;

Решение задачи №8

Для того чтобы н