Часть 2: производная и ее применение к исследованию функций

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Раздел 2. Применение производных к исследованию функций

Курс лекций

и образец решения индивидуального задания

по высшей математике для бакалавров 1-го курса

очной формы обучения

 

Ростов-на-Дону

УДК 517(07)

Теория пределов и дифференциальное исчисление. Раздел 2. Применение производных к исследованию функций. Курс лекций и образец решения индивидуального задания для бакалавров 1-го курса очной формы обучения. – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2011. – 37 с.

 

 

Изложен курс лекций по применению производных к исследованию функций. Приведен образец решения индивидуального задания «Применение производных к исследованию функций».

Лекции 7 – 12 составлены И.В. Павловым. Образец решения индивидуального задания составлен О.В. Назарько и адаптирован к курсу лекций И.В.Павловым.

Предназначены для бакалавров 1-го курса очной формы, проходящих обучение на кафедре высшей математики РГСУ, а также на математических кафедрах других вузов.

Электронная версия находится в библиотеке, ауд. 224.

УДК 517(07)

 

 

Составители:	д-р физ.-мат. наук, проф. И.В. Павлов, ассист. О.В. Назарько
Рецензенты:	канд. физ.-мат. наук, доц. А.М. Можаев, канд. физ.-мат. наук, доц. Г.А. Власков

 

 

Редактор Т.М. Климчук

Доп. план 2011 г., поз. 180

Подписано в печать 12.07.11. Формат 60´84/16. Бумага писчая. Ризограф.

Уч.-изд.л. 3,2. Тираж 50 экз. Заказ 382

Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162

 

© Ростовский государственный

строительный университет, 2011

 

ЧАСТЬ 2: ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

Лекция 7

 

Геометрический смысл производной. Уравнения

касательной и нормали к графику функции

 

Теорема 11. Пусть функция непрерывна в точке . Тогда дифференцируема в точке в том и только в том случае, когда график данной функции имеет касательную в точке , непараллельную оси Oy. При этом

,

(18)

где – угол наклона касательной по отношению к оси .

Доказательство. Построим чертеж:

Напомним, что касательной к кривой в точке A называется предельное положение секущей прямой AB, когда точка B, двигаясь по данной кривой, приближается к точке A (то есть расстояние между точками A и B стремится к нулю).

Предположим, что строго, то есть x приближается к a по произвольной последовательности, строго стремящейся к a (см. определение 7). Имеем:

.

(19)

Когда , в силу непрерывности функции в точке . Поэтому, если предельное положение секущей AB существует, то отсюда следует, что , причем , так как по условию теоремы непараллельна Oy. Пользуясь непрерывностью функции тангенс, из (19) получаем (18).

Обратно, если существует, то из (19) следует существование конечного предела . Из непрерывности функции арктангенс и из неравенства вытекает, что предел существует и находится в интервале . А это означает существование предельного положения секущей AB, причем непараллельна оси Oy.

€

Итак, равенство (18) показывает, что , где k – угловой коэффициент касательной . Применяя формулу (47) из лекций по линейной алгебре и аналитической геометрии (ЛЛААГ), получаем уравнение касательной :

: .

(20)

Используя соотношение между угловыми коэффициентами взаимно перпендикулярных прямых (см. формулу (52) из ЛЛААГ), получаем уравнение нормали n (то есть прямой, проходящей через точку касания A и перпендикулярной ):

n: .

(21)

Понятие локального экстремума. Основные теоремы

дифференциального исчисления

 

Определение 14. Говорят, что в точке функция имеет локальный максимум (соответственно, локальный минимум), если существует d-окрестность U точки a (см. определение 3), такая, что (соответственно, ). Локальные максимумы и локальные минимумы называются локальными экстремумами.

€

На представленном рисунке в точках функция имеет локальный экстремум: в точках и – локальный минимум, а в точках и – локальный максимум. При этом во всех этих точках функция непрерывна, но только в одной точке имеет конечную производную. Функция, представленная в примере 7, разрывна в точке и имеет в этой точке локальный максимум.

Следующая теорема, выражающая собой необходимый признак локального экстремума, позволит нам делать заключение о значении производной в точках локального экстремума.

Теорема 12 (теорема Ферма). Если в точке функция дифференцируема и имеет локальный экстремум, то .

Доказательство. Пусть, например, a – точка минимума. Если последовательность строго монотонно возрастает к a, то , а , значит и по свойству 6 предела последовательности имеем:

.

(22)

Аналогично, если строго монотонно убывает к a, то , и

.

(23)

Из неравенств (22) и (23) следует, что .

€

Формула (20) дает следующую геометрическую интерпретацию теоремы Ферма: если в точке функция дифференцируема, то она в этой точке имеет локальный экстремум тогда и только тогда, когда касательная, проведенная к графику функции в точке , параллельна оси Ox. Читателю предлагается построить соответствующий рисунок.

Заметим, что условие недостаточно для существования локального экстремума в точке . Действительно, функция имеет в точке производную, равную нулю, однако при , а при . Таким образом, определение 14 не выполняется. Читателю предлагается построить график функции .

В дальнейшем нам понадобится следующая лемма, доказательство которой выходит за рамки нашей программы.

Лемма 5. Если функция непрерывна на конечном замкнутом интервале , то она ограничена на этом интервале, хотя бы в одной точке этого интервала принимает свое минимальное значение m и хотя бы в одной точке этого интервала принимает свое максимальное значение M.

€

Теорема 13 (теорема Ролля). Пусть функция непрерывна на конечном замкнутом интервале , дифференцируема на интервале и удовлетворяет условию . Тогда существует хотя бы одна точка , такая, что .

Доказательство. Если на , то в качестве a можно взять любую точку интервала . Пусть . По лемме 5 в некоторой точке функция принимает свое максимальное значение. Ясно, что в данном случае и . Поэтому . По теореме Ферма .

Случай существования рассматривается аналогично.

€

Теорема 14 (теорема Коши). Пусть функции и непрерывны на конечном замкнутом интервале и дифференцируемы на интервале . Тогда существует хотя бы одна точка , такая, что

.

(24)

Доказательство. Рассмотрим функцию , заданную с помощью определителя:

.

Очевидно, непрерывна на , дифференцируема на и удовлетворяет условию (последнее вытекает из свойства 3 определителей; см. ЛЛААГ). По теореме Ролля существует хотя бы одна точка , такая, что . Раскладывая определитель по первой строке и производя дифференцирование, легко приводим последнее равенство к виду (24).

€

Теорема 15 (теорема Лагранжа). Пусть функция непрерывна на конечном замкнутом интервале и дифференцируема на интервале . Тогда существует хотя бы одна точка , такая, что

.

(25)

Доказательство. Доказательство немедленно следует из формулы (24), если положить .

€

Интересен геометрический смысл теоремы Лагранжа. Для того, чтобы найти точку a, построим прямую CD (как показано на рисунке) и будем передвигать ее параллельно самой себе до тех пор, пока она не станет касательной к графику функции в некоторой точке A. Абсцисса a точки A и будет точкой, удовлетворяющей равенству (25). Действительно, .

 

Доказательство теоремы 9 (правила Лопиталя)

Доказательство проведем только для неопределенности типа . Доопределяем, если это необходимо, функции и в точке равенствами: . Тогда из условий 1) данной теоремы следует, что эти функции непрерывны в точке .

Предположим сначала, что , строго монотонно убывая. Так как функция на интервале удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, то существует , такое, что . Но из условий теоремы 9 следует, что при достаточно больших n. Следовательно при тех же n . Имеем:

.

(26)

Так как функции и на интервале удовлетворяют условиям теоремы Коши, то существует , такое, что , а поскольку , то . Подставляя это в (26), получаем:

.

Но очевидно, что строго. Поэтому, применяя условие 2) данной теоремы, получаем, что последний предел равняется b. То есть , а это означает, что .

Аналогично доказывается, что . По теореме 2 .

€

Заметим, что из существования предела в общем случае не следует существование предела . Рассмотрим, например, функции и . Ясно, что эти функции дифференцируемы при и . Далее, так как , а при , то по свойству 8 предела функции . Очевидно также, что . Имеем опять же по свойству 8 предела функции. Однако , а последний предел не существует, поскольку , а не существует (действительно, если взять последовательность , то , то есть нечетные члены полученной последовательности равны –1, а четные равны +1; ср. с пунктом 2) примера 2).

 

ЧАСТЬ 2: ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

 

 

Лекция 8

 

Исследование на монотонность и нахождение экстремумов функций

 

Определение 15. Пусть J – некоторый интервал на действительной прямой. Говорят, что функция монотонно возрастает (соответственно, строго монотонно возрастает) на J, если , таких, что , выполняется неравенство:

(соотв., ).

(27)

Если неравенства в (27) заменить на противоположные, то получаем определение монотонно убывающей (соотв., строго монотонно убывающей) функции.

€

Теорема 16 (критерий монотонности). Пусть функция дифференцируема на открытом интервале .

1) монотонно возрастает на тогда и только тогда, когда .

2) монотонно убывает на тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Докажем лишь пункт 1) (пункт 2) доказывается аналогично). Если монотонно возрастает на , то, заменив в доказательстве теоремы Ферма (теорема 12) a на x и проводя рассуждения по той же схеме, без труда получаем неравенство .

Обратно, пусть и такие, что . По теореме Лагранжа (теорема 15) существует точка , такая, что . Так как , то из полученного равенства следует , или .

€

Пример 20. Рассмотрим функцию . Так как , то из теоремы 16 следует, что эта функция монотонно возрастает на всей действительной прямой. Легко видеть, что на самом деле строго монотонно возрастает на (докажите это!). При этом, однако, .

€

Пример 20 показывает, что в полном объеме аналог теоремы 16 не может быть сформулирован для строго монотонных функций. Однако справедлива следующая теорема, доказательство которой дословно повторяет вторую часть доказательства теоремы 16.

Теорема 17. Пусть функция дифференцируема на открытом интервале .

1) Если , то строго монотонно возрастает на .

2) Если , то строго монотонно убывает на .

€

Определение 16. Точка называется критической точкой функции , если удовлетворяется одно из следующих трех условий:

1) точка стационарна, то есть (см. теорему 12);

2) в точке производная не существует, однако функция непрерывна в этой точке;

3) функция имеет разрыв в точке .

€

Принимая во внимание теорему Ферма, легко видеть, что если функция имеет локальный экстремум в точке , то эта точка является критической. Обратное неверно ни в одном из случаев, перечисленных в определении 16. Читателю предлагается построить соответствующие графики.

Определение 17. Будем говорить, что функция меняет знак (соответственно, не меняет знака) при переходе через точку , если она определена в некоторой d-окрестности точки a (за исключением, быть может, самой точки a), сохраняет знак на интервале и на интервале и знаки функции на этих интервалах различны (соотв., одинаковы). ›

Теорема 18 (достаточное условие экстремума). Пусть функция непрерывна в точке . Если при переходе через эту точку производная

1) меняет знак "+" на "–", то – точка локального максимума;

2) меняет знак "–" на "+", то – точка локального минимума;

3) не меняет знака, то не является точкой локального экстремума.

Доказательство. 1) Пусть , последовательность строго монотонно возрастает к a и . Так как на производная данной функции положительна, то по теореме 16 для .Применяя свойство 6 предела последовательности и непрерывность функции в точке a, получаем: . Аналогично, для также получаем . Остается принять во внимание определение 14.

Пункт 2) доказывается точно так же, как пункт 1).

Докажем 3). Пусть производная до точки a и после точки a имеет знак "+". Рассуждая, как в пункте 1), получаем при и при . Если бы в точке был экстремум (например, максимум), то существовала бы такая точка , что при . Следовательно, при , Что противоречит (в силу теоремы 17) строго монотонному возрастанию функции на . Полученное противоречие доказывает, что экстремума в точке нет.

€

Пример 21. Найдем интервалы монотонности и точки локального экстремума функции . Очевидно, D(y) . Находим производную и затем приравниваем ее к нулю, чтобы найти критические точки: ; . Теперь, применяя известный из школьного курса "метод интервалов", заполним таблицу:

		–3	(–3,2)
	+		–		+
		max		min

Напомним, что в первой строке таблицы расписывается область определения функции, раздробленная на интервалы критическими точками. Во второй строке с помощью "пробных точек" вычисляются знаки производных на интервалах дробления. Действительно, если производная непрерывна вне критических точек, то она сохраняет знак на каждом интервале дробления. Поэтому для определения этого знака, достаточно вычислить знак в произвольно взятой "пробной точке" интервала. Например, чтобы вычислить знак производной на интервале , достаточно взять, скажем, точку , подставить ее в выражение и определить знак числа . Очевидно, это знак " + ". Точно так же вычисляются знаки производной на остальных интервалах. Ниже точек –3 и 2 ставим число 0, равное значению производной в этих точках.

В третьей строке, опираясь на теорему 17, стрелками указываем характер монотонности функции на каждом интервале, а также записываем значения функций в критических точках. Ниже этих значений, применяя теорему 18, отмечаем наличие или отсутствие локального экстремума, а также в виде куска графика отображаем поведение функции в окрестности критической точки.

€

Пример 22. Найдем интервалы монотонности и точки локального экстремума функции . Имеем: D(y) и =

. Далее, (заметим, что – кратный корень). Построим таблицу:

			(2,3)	(3,5)
	+		+	–		+
		нет extr			min

Заметим, что мы не внесли в таблицу значение аргумента , так как оно не входит в D(y) и, следовательно, бессмысленно говорить об экстремуме в этой точке.

€

Пример 23. Найдем интервалы монотонности и точки локального экстремума функции . Имеем: D(y) и . Далее,

( – двукратный корень). Составим таблицу:

			(0,3)
	+		+		–
		нет extr		max
	€

Заметим, что в примерах 22 и 23 именно двукратные корни производной являлись критическими точками, но не экстремумами соответствующих функций. Легко доказать, что если производная непрерывна и ее корень имеет четную кратность, то он не является точкой экстремума исследуемой функции.

Пример 24. Найдем интервалы монотонности и точки локального экстремума функции . Имеем D(y) , однако можно доказать, что в точке производная не существует (здесь сказывается неблагоприятное влияние члена ). Нетрудно также видеть, что не существует в точке (можно сказать, что в этой точке производная равна бесконечности). Если , то , и . Если же , то и . Однако этот корень не принадлежит рассматриваемому интервалу и поэтому должен быть отброшен. Итак, мы получили три критические точки (см. определение 15): точки и , в которых функция непрерывна, но производная не существует, и стационарную точку .

		–2	(–2,–1)	–1	(–1,0)
	–	не сущ.	+		–	не сущ.	+
		min		max		min
	€

Пример 25. Найдем интервалы монотонности и точки локального экстремума функции . Ясно, что D(y) . Для того, чтобы выяснить, является ли данная функция непрерывной в точке , вычислим ее левый и правый предел при . Имеем: (см. пункт 6) теоремы 8). Однако, по той же теореме . Поэтому – точка разрыва данной функции и производной в этой точке у нее нет. При :

и . Итак, мы получили три критические точки (см. определение 15): стационарные точки и и точку разрыва функции . Построим таблицу:

		–1	(–1,–0)		(0,1)
	+		–	не сущ.	–		+
		max		max		min

Так как точка не подпала под условия теоремы 18, то мы получили нужный нам вывод с учетом вычисленных левого и правого предела. ›