В приведенных выше примерах нам было достаточно несложных алгебраических преобразований для получения ответа. Иная ситуация возникает, если выражение содержит трансцендентные функции, типа синуса, логарифма и другие. В этом случае нам помогут некоторые пределы, называемые в математике «замечательными» пределами и сравнение бесконечно малых величин между собой.
Первый замечательный предел: 
,
Второй замечательный предел: 
, или 
, 
- иррациональное число.
Сравнение бесконечно малых величин между собой определяется через предел их отношения. Пусть 
и 
бесконечно малые величины при 
. Правила сравнения запишем в таблицу:
| Величины одного порядка малости | |
|
| Эквивалентные величины |  .
Читается:  эквивалентно  при .
|
|
| Величина имеет больший порядок малости по сравнению с величиной
|  .
Читается: есть  - малое по сравнению с при .
|
 не существует
| Величины не сравнимы между собой |
На основании замечательных пределов можно получить таблицу эквивалентных величин при 
.
Заметим, что слева в формулах стоят различные функции, а сравниваются все они со степенной функцией, наиболее простой для работы.
Примеры сравнений:
.
Теорема. Пустьпри 
. Тогда справедливы равенства:
, 
. ●
Примеры на вычисление пределов с использованием таблицы эквивалентных величин:
, 
.
Если при вычислении пределов с неопределенностью 
переменная стремится к числу, отличному от нуля, то для возможности использовать таблицу, сначала необходимо сделать замену переменной. Например:
.
Пояснения к решению примера. Подставив предельное значение в заданный пример, получили неопределенность вида , т.е. отношение бесконечно малых величин. Но таблицей воспользоваться нельзя, так как таблица справедлива только для случая, если переменная стремится к нулю. Сделаем замену переменной (замена выделена вертикальными линиями) и преобразуем выражение. Подставив новую переменную в выражение для предела, снова получаем неопределенность , но теперь мы уже могли воспользоваться таблицей эквивалентных величин, что и было сделано.
Вычисление пределов при неопределенности 
. Можно предложить несколько способов. Рассмотрим пример: вычислить 
. Непосредственная подстановка предельного значения приводит к неопределенности .
Первый способ – логарифмировать заданное выражение. Обозначив заданную функцию 
, получаем
,
.
Следовательно, 
.
Второй способ ─ построение выражения в виде 
:
.
Производная функции
Пусть функция 
определена в точке 
и ее окрестности. Если существует конечный предел
, (3)
то этот предел называется производной функции в точке 
и обозначается 
или 
.
При существовании односторонних пределов 
или 
говорят о существовании односторонних производных.
Функция, имеющая в каждой точке промежутка конечную производную, называется дифференцируемой функцией на этом промежутке.
Вычисляется производная с использованием таблицы производных и согласно правилам дифференцировании.
| 
| Правила дифференцирования |
| const |
I.  .
II.  .
III.  .
IV.  .
V.  .
VI.  (дифференцирование сложной функции)/
VII.  .
АЛГОРИТМ вычисления производных:
· Найти последнее действие (функцию).
· Применить формулы I–V.
· Применить таблицу производных.
Замечание. Выражения  , 
следует предварительно преобразовать по формулам:  ;
 ;  ; 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
|
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
|
Производная от первой производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается 
или 
. Аналогично определяются производные более высоких порядков.
Геометрический смысл производной. Пусть функция непрерывна на промежутке в окрестности точки 
, а график функции имеет в этой точке касательную, не параллельную оси 
. Тогда
, (4)
где 
– угол между положительным направлением оси 
и касательной (рис. 1).
Рис. 1
Уравнение касательной к графику функции в точке 
имеет вид
. (5)
Пример 3. Найти производную функции 
в точке 
.
Решение. 
. 
.
Пример 4. Найти производную функции 
в точке 
.
Решение. Заданная функция – сложная. Используем формулу дифференцирования сложной функции.
Тогда 
.
Правило Лопиталя
Теорема. Пусть функции 1) 
и 
определены в окрестности точки 
и существуют конечные производные, 2) 
, 3) существуют конечные производные 
и 
, причем 
, 4) существует предел 
, Тогда
. ●
Здесь приведена одна из теорем Лопиталя. Аналогичное правило вычисления предела справедливо д с неопределенностью 
.
Примеры вычисления пределов с помощью правила Лопиталя:
1. 
,
2. 
,
3. 
.
Во втором примере мы применили правило Лопиталя 4 раза. В третьем примере правило Лопиталя не применимо, так как не существует предела производных. Нет лекарства от всех бед. Предел же легко вычисляется с использованием теорем и равен единице.
Рекомендуем запомнить пределы:
,.
