Математические модели потоков классифицируют, основываясь на виде функции распределения времени пребывания. Наиболее простыми из них являются модели идеального вытеснения и идеального смешения.
Единственным параметром этих моделей является среднее время пребывания τ.
Модель идеального вытеснения (МИВ). В аппарате идеального вытеснения частицы потока движутся параллельно друг другу с одинаковой скоростью, поперечное (по сечению потока) и продольное (по длине потока) перемешивание частиц отсутствует. Поэтому время пребывания всех частиц в аппарате одинаково и равно среднему времени τ, определяемому соотношением (1). Поскольку фронт потока в аппаратах МИВ движется как твердый поршень или стержень, то иногда такой поток называют поршневым или стержневым.
Математическое описание МИВ можно получить из материального баланса элемента аппарата по индикатору:
где S - площадь поперечного сечения аппарата; х - длина пути потока. Знак δ означает бесконечно малое приращение.
где w- средняя скорость движения жидкости.
Кривая отклика в аппарате идеального вытеснения при импульсном вводе индикатора представлена на рис. 3, а, из которого следует, что начиная с момента τ = 0, когда индикатор был введен во входящий поток, и до момента х = τвых индикатор в выходящем потоке не обнаруживался. При х = хвых концентрация индикатора мгновенно возрастает (теоретически, если бы индикатор вводился за время, равное нулю, до бесконечности), а затем так же мгновенно снижается до нуля. Таким образом, в аппарате идеального вытеснения индикатор проходит через него неразмытым тончайшим слоем. Любое отклонение от идеального вытеснения часто называют перемешиванием или обратным перемешиванием.
Рис. 3. Кривые отклика при импульсном вводе индикатора в аппарат идеального вытеснения (а) и идеального смешения (б)
К модели идеального вытеснения наиболее близки аппараты, выполненные из длинных трубок, цилиндрические аппараты небольшого диаметра, но значительной высоты, заполненные зернистым материалом (сорбентом, катализатором, насадкой и т.д.). Модель идеального смешения (МИС). Если в аппарат, в котором структура потоков соответствует МИС (например, аппарат с мешалкой) импульсно ввести индикатор (краситель), то весь объем жидкости в таком аппарате мгновенно и равномерно окрасится (начальная концентрация индикатора при этом с0). После этого концентрация индикатора начнет убывать во времени, так как индикатор непрерывно выносится потоком, а входящая жидкость индикатора уже не содержит. Однако в любой момент времени концентрация индикатора будет оставаться одинаковой во всех точках аппарата. Таким образом, в аппаратах идеального смешения концентрация на входе в аппарат изменяется скачкообразно (мгновенно)-от значений на входе в аппарат (с0) до выходных (или текущих) значений с. Время пребывания частиц потока в аппарате идеального смешения распределено неравномерно: некоторые частицы жидкости в результате, например, действия мешалки сразу попадут близко к выходу из аппарата и выйдут из него, а некоторые частицы надолго задержатся в аппарате.
Кривая отклика в аппарате идеального смешения при мгновенном вводе индикатора представлена на рис. 3, б. Математическое описание МИС получают из материального баланса по индикатору для аппарата (при условии постоянства объема жидкости в нем). Количество индикатора, выходящего из аппарата за произвольный промежуток времени dτ, составит cQdτ, что приведет к изменению (- dc) концентрации индикатора в аппарате на величину - Vadc, т.е
а с учетом выражения (1)
Проинтегрируем последнее уравнение в пределах от с0 (при τ = 0) до с (в произвольный момент времени τ).
Рис. 4. Изменение концентрации в потоке по длине аппарата идеального вытеснения (1) и идеального смешения (2)
Рис. 5. Кривая отклика при импульсном вводе индикатора в аппарат (модель структуры потока промежуточного типа)
Интегральную кривую отклика можно получить при интегрировании уравнения (10) с учетом (3а):
К аппаратам идеального смешения близки сосуды с интенсивным перемешиванием, аппараты с псевдоожиженным слоем (сушилки, адсорберы и т.п.) и др.
Отметим, что каждый из идеальных потоков отличает предельная равномерность: для МИВ- равномерность скоростей и времени пребывания, для МИС-равномерность концентраций (а также и температуры) по объему аппарата. Равномерность времени пребывания способствует более глубокому протеканию процессов переноса массы и энергии.
На рис.4 показано изменение концентрации компонентов в потоках по длине аппарата при одинаковых для МИВ и МИС начальных и конечных концентрациях компонента (это возможно только, если объем аппарата МИС больше объема аппарата МИВ). Из рис. 4 видно, что концентрация в аппарате МИВ больше, чем в аппарате МИС. Следовательно, и движущая сила процесса переноса массы для МИВ будет больше. Отметим, что рассмотренные в этом разделе упрощенные модели МИВ и МИС называют идеальными потоками.
