Единичной называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице и обозначается E

Матрицы. Действия над матрицами.

Матрицей называется множество чисел или других математических объектов, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. Объекты, входящие в таблицу, называются элементами матрицы.

Обозначения матрицы:

; ;

Для любого элемента первый индекс i означает номер строки, а второй, j,- номер столбца, где расположен элемент.

Матрицу, имеющую m строк и n столбцов, называют матрицей размеров m n.

Употребляются краткие обозначения матрицы размеров m n:

; ; .

Матрицы также обозначаются латинскими заглавными буквами: A, B, C …

Если число строк не равно числу столбцов, то матрица называется прямоугольной.

Например:

Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной:

.

Число строк или столбцов квадратной матрицы называется её порядком.

Диагональ квадратной матрицы, содержащая элементы , называется главной, а диагональ, содержащая элементы , – побочной.

Квадратная матрица называется симметричной, если равны её элементы симметричные относительно главной диагонали, т.е. .

Например: .

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю.

Например: .

 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Матрицы и действия над ними. Стр.1

Если у диагональной матрицы все числа главной диагонали равны между собой, то матрица называется скалярной. Например: .

Единичной называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице и обозначается E.

Например: .

Треугольной называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Различают верхнюю и нижнюю треугольные матрицы.

Например: - верхняя треугольная матрица, - нижняя треугольная матрица.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей – строкой, а из одного столбца – матрицей-столбцом.

Например: , .

Две матрицы называются равными (A=B), если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны:

Матрица , полученная из данной матрицы A заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной относительно А. Если матрица А имеет размеры , то

Например: , .

Суммой матриц А и В называется матрица, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковые размеры.

Пример 1. Найти сумму матриц и .

Решение.

Произведением матрицы А на число k называется матрица kA, каждый элемент которой равняется .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Матрицы и действия над ними. Стр.2

Пример 2. Найти 5А, если .

Решение. 5А= = .

Произведение матриц определяется для квадратных матриц одного и того же порядка, а также для прямоугольных матриц, у которых число столбцов первого множителя равно числу строк второго множителя.

Произведением матриц и называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на элементы j-го столбца матрицы В.

Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ, при этом АВ≠ВА.

Пример 3. Найти произведение матриц и .

Решение..

Целой положительной степенью (k>1) квадратной матрицы А называется произведение k матриц, каждая из которых равна А.

Нулевой степенью матрицы А называется единичная матрица того же порядка, что и А, т.е. .

Первой степенью матрицы А называется сама матрица А, т.е. .

Многочленом Р(А) от матрицы А называется выражение вида:

.

Многочлен от матрицы можно получить, если в обычный многочлен вместо х подставить квадратную матрицу А и учесть, что .

Определитель матрицы.

Каждой квадратной матрице A порядка n можно поставить в соответствие единственное число, которое вычисляется по определенному правилу. Это число называется определителем(детерминантом) матрицы A и обозначается | A | или det A, или Δ(A), Δ _А. Порядок матрицы A является и порядком ее определителя. Определители порядка 1 и 2 вводятся соответственно равенствами:

Минором элемента a_ij, где называется определитель (n– 1)-го порядка, который состоит из элементов матрицы, полученной из данной путем «вычеркивания» i -й строки и j -го столбца.

Алгебраическим дополнением этого же элемента называетсячисло А_ij =(–1) ^i+j M _ij.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Матрицы и действия над ними. Стр.3

Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца: сумма произведений элементов любой строки (или столбца) данного определителя на их алгебраические дополнения равна этому определителю.

Свойства определителей.

1) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;

2) перестановка двух строк (столбцов) меняет знак определителя на противоположный;

3) | A | = 0, если выполняется одно из следующих условий:

- в определителе есть нулевая строка (нулевой столбец);

- в определителе есть пропорциональные строки (столбцы);

- в определителе есть строки (столбцы), являющиеся линейной комбинацией соответствующих элементов других строк (столбцов);

4) если к элементам одной строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то значение определителя не изменится.