Вычисление определителя 
-го порядка можно свести к вычислению определителей порядка 
, используя следующие формулы.
1. Разложение определителя по 
-й строке:
Это число, равное сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.
2. Разложение определителя по 
-му столбцу:
Это число, равное сумме произведений элементов любого столбца на их алгебраические дополнения.
Пример 9. Вычислить определитель третьего порядка 
разложением по первой строке.
Решение
Независимо от способа разложения всегда получается один и тот же ответ.
Свойства определителей
1. При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не меняется: 
. Вывод. Свойства определителей, сформулированных для строк, справедливы и для столбцов.
2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный. Например, 
.
3. Определитель равен нулю, если:
а) он имеет нулевую строку (столбец) 
;
б) он имеет пропорциональные (одинаковые) строки (столбец) 
.
4. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя. Например, 
.
5. Определитель не изменяется, если к элементам какой-либо строки прибавить (вычесть) соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число.
Например, 
.
6. Если в определителе каждый элемент какой-либо строки есть сумма двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей:
.
7. Определитель произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц:
.
8. Определитель квадратной матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
.
Обратная матрица
Вместо операции деления матриц вводится понятие обратной матрицы.
§ Если при умножении квадратных матриц 
и 
в любом порядке получается единичная матрица (
), то матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , а матрица - обратная для матрицы .
Обозначается обратная матрица 
, то есть 
.
Очевидна аналогия с числами: для числа 2 число ½ есть обратное, так как 
. Именно поэтому матрица, обратная к А, обозначается .
Теорема «Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы». Для того чтобы квадратная матрица имела обратную матрицу , необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был не равен нулю.
Правило нахождения обратной матрицы
0) Смотрим, является ли матрица квадратной. Если нет, то обратной матрицы не существует; если квадратная, то переходим к пункту 1.
1) Вычисляем определитель матрицы 
: если он не равен нулю, то обратная матрица существует: 
; 
если равен нулю, то обратной матрицы нет.
2) Для каждого элемента матрицы 
вычисляем его алгебраическое дополнение 
.
3) Составляем матрицу из алгебраических дополнений, которая затем транспонируем: 
.
4) Каждый элемент матрицы 
делим на определитель 
: 
Получаем матрицу, обратную данной.
