Модуль 1. линейная алгебра
Лекция 1. Матрицы и определители
1. Матрицы и их виды
2. Действия с матрицами
3. Свойства действий с матрицами
4. Определители второго порядка
5. Определители третьего порядка
6. Алгебраические дополнения и миноры
7. Разложение определителя по строке или столбцу
8. Свойства определителей
9. Обратная матрица
10. Свойства обратной матрицы
Матрицы и их виды
Матрицей размерности 
называется таблица чисел, расположенных в 
строках и 
столбцах:
,
Матрицы обозначаются латинскими буквами А, В, С, …
Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.
Каждый элемент 
имеет два индекса 
- номер строки, 
- номер столбца, на пересечении которых стоит элемент .
Для матриц используют обозначение 
или 
, 
.
Пример 1. Матрицы 
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов (
), называется квадратной, иначе матрица называется прямоугольной. Элементы квадратной матрицы 
, для которых 
, называются диагональными, а диагональ матрицы, на которой они находятся, - главной диагональю.
Примеры матриц различных видов:
Верхняя треугольная – квадратная матрица, у которой элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны 0:
| Нижняя треугольная – квадратная матрица, у которой элементы, стоящие выше главной диагонали, равны 0:
|
Диагональная – квадратная матрица, у которой все элементы, кроме диагональных, равны 0:
| Единичная – квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны  , а остальные элементы равны  :
|
Матрица-столбец:  .
| Матрица-строка:  .
|
Действия с матрицами
1. Равенство матриц.
Матрица 
называется равной матрице 
, если они одинаковой размерности и их соответствующие элементы равны.
2. Транспонирование матриц.
Если в матрице 
строки записать в виде столбцов с теми же номерами, то получим матрицу, транспонированную матрицу 
. Она обозначается 
.
Пример 2. Дана матрица . Получить матрицу 
.
Решение. 
3. Сложение матриц.
Суммой матриц и 
одинаковой размерности называется матрица 
такой же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и : 
.
Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы на число 
называется матрица той же размерности, у которой каждый элемент 
равен произведению элементов на число : 
.
Пример 3. Дана матрица 
. Найти 
, если 
.
Решение. 
.
Матрица 
называется противоположной для матрицы .
Вычитание матриц.
Разностью матриц одинаковой размерности А и В называется матрица D той же размерности, элементы которой равны разности соответствующих элементов матриц А и В: 
6. Умножение матриц.
Произведением матрицы 
на матрицу 
называется матрица 
, удовлетворяющая следующим условиям:
1) матрица 
существует, если число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя ;
2) элемент 
матрицы равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на элементы -ого столбца матрицы :
;
3) число строк матрицы 
равно числу строк матрицы , а число столбцов 
матрицы равно числу столбцов матрицы .
Порядок умножения матриц А и В очень важен. Число столбцов () первого множителя должно равняться числу строк второго множителя. Вообще говоря, 
.
Пример 4. Даны матрицы и . Найти произведение 
.
Решение. 
№ строки № столбца
, и так далее.
,
,
,
.
Итак, матрица 
.
Операции деления для матриц нет.
