Арифметические действия с матрицами

МАТРИЦЫ

 

3.1. Предварительные сведения. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем виде:

.

Для обозначения матрицы используют прописные латинские буквы, для обозначения элементов матрицы – строчные латинские буквы с указанием номера строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Запись «матрица B имеет размер m x n» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов. Например, матрица имеет размер 2 x 3. Далее, b_ij - обозначение элемента, стоящего на пересечении i -й строки и j- го столбца данной матрицы (в примере b₂₃=5).

При ссылке на i-ю строку матрицы A используют обозначение A_i, при ссылке на j-й столбец – обозначение A^j.

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной. Элементы a₁₁, a₂₂ ,…, a_nn квадратной матрицы A (размера n x n) образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой отличные от нуля элементы могут стоять только на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы (главной диагонали!) равны 1, называется единичной. Наконец, квадратная матрица, у которой ниже (выше) главной диагонали находятся только нули, называется верхней (нижней)треугольной матрицей. Например, среди квадратных матриц размера 3 x 3

, , ,

матрица A является верхней треугольной, B – диагональной, C – нижней треугольной, E – единичной.

Матрицы A, B называются равными (A=B), если они имеют одинаковый размер, и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают.

Арифметические действия с матрицами.

Чтобы умножить матрицу A на отличное от нуля вещественное число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:

.

Чтобы найти сумму матриц A, B одной размерности, необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):

.

Пример 3.1. Найти 2A-B, если , .

Решение. Сначала умножаем матрицу A на число "2", затем матрицу B на число "-1", и, наконец, находим сумму полученных матриц:

Произведение AB можно определить только для матриц A размера m x n и B размера n x p, при этом AB=C, матрица C имеет размер m x p, и ее элемент c_ij находится как скалярное произведение i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B: (i=1,2,...,m; j=1,2,...,p). Фактически необходимо каждую строку матрицы A (стоящей слева)умножить скалярно на каждый столбец матрицы B (стоящей справа)

Пример 3.2. Найти произведение матриц и .

Решение. Размер матрицы A 3 x 2, матрицы В 2 х 2. Поэтому произведение АВ найти можно, произведение ВА – нет. Действуя по сформулированному выше правилу, получаем:

Матрицей, транспонированной к матрице A размера m x n, называется матрица A^T размера n x m, строки которой являются столбцами исходной матрицы.

Например, если , то .

Пример 3.3. Найти .

Решение. Воспользовавшись вычислениями, проведенными при решении примера 3.2, а также правилами умножения матрицы а число и сложения матриц, получим:

.

3.3. Элементарные преобразования матриц. К таким преобразованиям матриц относятся следующие действия:

1) перемена местами двух строк матрицы (краткая запись: );

2) вычеркивание нулевой строки (в которой все элементы равны нулю);

3) умножение всех элементов одной строки матрицы на одно и то же число, отличное от нуля (коротко: );

4) прибавление к элементам одной строки матрицы соответствующих элементов другой ее строки, умноженных на одно и то же отличное от нуля число (коротко: ).

Вычеркивание нулевой строки приводит к изменению размера матрицы, поэтому говорить о равенстве матриц при подобных преобразованиях нельзя.

Матрицы A, B называются эквивалентными, если одна получена из другой путем элементарных преобразований.

Матрица A размера m x n называется ступенчатой, если в каждой ее строке есть элемент, в столбце которого все элементы ниже являются нулями, а в последней строке есть хотя бы один ненулевой элемент. Упомянутые в определении ненулевые элементы называют ведущими.

Примеры ступенчатых матриц: , . Любая верхняя (нижняя) треугольная матрица или диагональная матрица также является ступенчатой.

 

Теорема 3.1. Любую ненулевую матрицу можно путем элементарных преобразований свести к эквивалентной ей ступенчатой матрице.

Пример 3.4. Привести к ступенчатому виду матрицы , .

Решение. При преобразованиях матрицы A в качестве ведущего элемента в первой строке рассматриваем a₁₃, во второй – a₂₁. Имеем:

.

Последняя матрица является ступенчатой, причем ведущим элементом в третьей строке является a₃₂. Итак, .

Проведем преобразования для матрицы B.

.

Итак, . В данном случае в первой строке ведущим является элемент b₁₁, во второй в качестве ведущего может выступить либо b₂₂, либо b₂₄.

Замечание 1. Обобщением элементарных преобразований 2)-4) является возможность вычеркивания равных или пропорциональных строк матрицы (при этом одна из таких строк обязательно должна остаться!).

Замечание 2. Аналогичные элементарные преобразования можно проводить со столбцами матриц.

Рангом матрицы A в дальнейшем будем считать число строк эквивалентной ей ступенчатой матрицы, используя обозначение r(A). Так, в рассмотренном выше примере 3.4 r(A)=3, r(B)=2. Можно доказать, что ранг матрицы A (размера m x n) не может быть больше (например, для матрицы А размера 2 x 3 ). Кроме того, ранг матрицы не зависит ни от выбора ведущих элементов, ни от проводимых преобразований. Это свойство можно использовать при проверке. Так, в примере 3.4 после перестановки первой и второй строки в матрице B можно в качестве ведущего сначала рассмотреть элемент b₁₂, а затем вычеркнуть третью строку, пропорциональную второй ():

Мы получили другую матрицу, эквивалентную B. Но она тоже является ступенчатой, причем состоит из двух строк, r(B)=2, как и было показано ранее.