МАТРИЦЫ
Оглавление.
1. Определение матриц.
2. Квадратные матрицы.
3. Действия с матрицами
4. Ранг матрицы.
5. Обратная матрица.
Системы линейных уравнений.
А. Метод Гаусса.
6.б. Формулы Крамера.
6.в. Матричный метод.
Системы линейных уравнений общего вида.
Определение матриц
Прямоугольная таблица, содержащая 
строк и 
столбцов, называется матрицей размера 
.
Числа 
называются элементами матрицы. Каждый элемент матрицы снабжен двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, второй — номер столбца, в котором расположен этот элемент.
Матрицы обозначают буквами 
, 
, 
и т. д. Например,
или сокращенно в виде 
.
Две матрицы и 
считаются равными, если равно число их строк и число столбцов и если равны элементы, стоящие на соответствующих местах этих матриц равны, то есть 
, если 
.
Часто приходится рассматривать матрицу, столбцами которой являются строки матрицы . Эта матрица называется транспонированной к и обозначается через 
.
Пусть дана матрица . Переставим строки со столбцами. Получим матрицу
,
которая будет транспонированной по отношению к матрице .
Квадратные матрицы
Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной, а число ее строк, равное числу столбцов, — порядком квадратной матрицы.
Множество всех элементов квадратной матрицы, которые лежат на отрезке, соединяющем ее левый верхний угол с правым нижним, т. е. совокупность элементов 
называется главной диагональю, а множество всех элементов, которые лежат на отрезке, соединяющем ее правый верхний угол с левым нижним, - побочной диагональю.
Квадратная матрица называется треугольной, если ее элементы, которые находятся над главной диагональю или под главной диагональю, равны нулю, т. е. матрицы вида
, 
являются треугольными. Матрица называется треугольной снизу, а матрица — треугольной сверху.
Квадратная матрица называется диагональной, если ее элементы, которые находятся вне ее главной диагонали, равны 
.
.
Действия с матрицами
Умножение матрицы на число и сложение матриц
По определению, чтобы умножить матрицу на число 
, нужно каждый элемент матрицы умножить на это число.
Пример 1. Умножить матрицу на число
Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов. Суммой матриц и называется матрица , элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц и : 
.
Пример 2. Сумма двух матриц
.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через 
. Для любой матрицы имеем 
, 
.
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
.
где , , - матрицы, , 
- числа.
Произведение матриц
Произведение матрицы на матрицу определено только в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В результате умножения получим матрицу , у которой столько же строк, как у матрицы , и столько же столбцов, как у матрицы .
По определению элемент 
матрицы равен сумме парных произведений элементов 
строки матрицы , на соответствующие элементы 
столбца матрицы .
Пример 3. Найти произведение матриц
и 
.
Решение. Имеем: матрица размера 
, матрица размера 
, тогда произведение 
существует и элементы матрицы 
равны
, 
, 
,
, 
.
, а произведение 
не существует.
Пример 4. Найти произведение матриц
, 
Очевидно, что произведение матриц не обладает перестановочным свойством, т.е. некоммутативно. Если все-таки выполняется равенство 
, то матрицы и называются перестановочными.
Свойства произведения матриц:
1) 
, где -число;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы равны 1.
.
Свойство единичной матрицы: 
для любой квадратной матрицы .
Рассмотрим произвольную квадратную матрицу , порядка . Если существует такая матрица , что 
, то говорят, что обратима, а называют обратной матрицей для матрицы .
Определитель матрицы
Определителем квадратной матрицы называется число, которое обозначается как 
или 
и вычисляется при помощи следующих трех правил.
Правило 1. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Замечание: Определитель одноэлементной матрицы равен самому элементу.
Правило 2. Общий множитель элементов любой строки или столбца матрицы можно вынести за знак определителя.
Замечание: Определитель матрицы, у которой строка или столбец состоит только из нулей, равен .
Правило 3. Определитель матрицы не изменится, если к одной из строк (столбцов) матрицы прибавить другую строку (столбец) этой матрицы.
