2.
1. Системы двух и трех линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными.
Линейным уравнением первой степени с 
неизвестными 
называется уравнение вида
(1)
Совокупность 
линейных уравнений (1) называется системой линейных уравнений с неизвестными (или кратко линейной системой). Линейная система записывается следующим образом:
(2)
Числа 
, 
называются коэффициентами линейной системы, числа 
- свободными членами системы.
Линейная система называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю и неоднородной, если хотя бы один ее свободный член отличен от нуля.
Решением линейной системы (2) называется такая совокупность 
из чисел, которая при 
каждое уравнение системы (2) обращает в тождество.
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Запишем линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными в следующем виде:
(3)
Чтобы решить эту систему введем три определителя второго порядка
; 
; 
Определитель 
называется определителем системы (3). Уравнения (4) и (5) дают систему уравнений, эквивалентную системе (3):
(6)
Для решения системы (6) рассмотрим три случая:
1) 
. Следовательно:
(7)
Формулы (7) дают единственное решение линейной системы (3) и носят название формул Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
2) 
В этом случае система (6), а, следовательно, и система (3) имеет бесчисленное множество решений.
Пример. Решить системы уравнений:
Решение. Вычислим определители 
:
а) 
Так как , то формулы Крамера дают: 
.
Рассмотрим системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
(8)
Чтобы найти решение системы (8) введем четыре определителя третьего порядка:
; 
Определитель называется определителем системы (8).
При получаем решение системы (8):
(14)
Формулы (14) называются формулами Крамера для решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Примеры. Решить системы уравнений:
Решение.
1) Имеем:
; 
Формулы (14) дают: 
.
1. Действия над матрицами.
Множество чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы
(1)
имеющей m строк и n столбцов, называется прямоугольной матрицей размера m 
n.
Числа, составляющие матрицу (1), могут быть как комплексными, так и вещественными и называются ее элементами.
Матрица называется в е щ е с т в е н н о й, если все ее элементы – вещественные числа.
Мы будем рассматривать, как правило, вещественные матрицы.
Если m = n, то матрица (1) называется к в а д р а т н о й матрицей порядка n.
Например, матрица 
имеет размер 2 3, а матрица
является квадратной матрицей порядка 2.
Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне г л а в н о й диагонали, идущей с левого верхнего угла в правый нижний, равны нулю, называется д и а г о н а л ь н о й матрицей.
Диагональная матрица имеет вид
У диагональной матрицы все элементы с неравными индексами равны нулю, то есть =0, если i=j.
Диагональная матрица
называется единичной матрицей и обозначается буквой Е
Для обозначения матриц будем использовать также прописные буквы латинского алфавита A, B, C, …, X,Y, ….
Матрица A= (
состоящая из одной строки, называется
с т р о ч н о й матрицей длины n или в е к т о р – с т р о к о й; матрица
B= 
,
состоящая из одного столбца, называется с т о л б ц о в о й матрицей высоты m или в е к т о р – с т о л б ц о м.
Сложение матриц и умножение матрицы на число
Определение. Суммой двух матриц А и В одного и того же размера называется матрица С=А+В того же размера, элементы которой равны суммам соответствующих элементов данных матриц, то есть если
А= 
, В=(
и С=(сij), то сij=аij+вij,(i=1,2,…m, j=1,2,…n).
Пример. Пусть
А= 
В= 
Тогда
С=А+В= 
Определение. Произведением матрицы А=(аij) на число 
(вещественное или комплексное) называется матрица А, элементы которой есть элементы матрицы А, умноженные на , то есть
Произведение матриц
Определение. Произведением матрицы А=(аij) размера m n на матрицу В=(вij) размера n p называется матрица С=АВ=(сij) размера m p, где
сij= 
(i=1,2,…,m, j=1,2,…n).
Согласно этому определению, произведение двух матриц имеет смысл только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй
матрицы. Отсюда, квадратные матрицы одного и того же порядка всегда можно перемножить.
В общем случае умножение двух матриц зависит от порядка сомножителей, то есть оно некоммутативно: АВ 
ВА, (или даже ВА не имеет смысла).
Отметим легко проверяемое тождество:
АЕ=ЕА=А,
справедливое для любой квадратной матрицы А и единичной матрицы Е того же размера, что и матрица А.
Примеры.
