| 10-чная | 2-чная | 8-чная | 16-ичная |
| А | |||
| В | |||
| С | |||
| D | |||
| E | |||
| F | |||
Из Таблицы 2 видно, что в двоичной системе запись чисел второй восьмерки (от 8 до 15) отличается от записи первой восьмерки (от 0 до 7) наличием единицы в четвертом (справа) разряде. На этом основан алгоритм перевода двоичных чисел в восьмеричные «по триадам». Для применения этого алгоритма надо разбить двоичное число на тройки цифр (считая справа) и записать вместо каждой из троек восьмеричную цифру:
101011012 → 10 101 101 → 2558.
2 5 5
Крайняя левая тройка может быть неполной (как в примере), для получения полных троек можно приписать слева недостающие нули.
Убедимся в правильности алгоритма:
101011012 → 1*27+1*25+1*23+2*21+1*20=17310;
2558 →2*26+5*23+5*20=17310.
Для перевода чисел из восьмеричной системы в двоичную используется обратный алгоритм: восьмеричные цифры заменяются на тройки двоичных цифр (при необходимости слева дописываются недостающие нули):
3258 → 3 2 5 → 11 010 101 → 110101012.
011 010 101
Для перевода чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную используется алгоритм «по тетрадам». Строка двоичных цифр разбивается на четверки и вместо них записываются шестнадцатеричные цифры:
101011012 → 1010 1101 → AD16.
А D
Аналогично работает и обратный алгоритм: вместо шестнадцатеричных цифр подставляются четверки двоичных цифр.
Из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и обратно проще переводить через двоичную систему:
D516→ D 5 →1101 0101 → 110101012 → 11 010 101 → 3258.
D 5 3 2 5
При выполнении заданий на сложение чисел разных систем счисления их нужно перевести в одну систему счисления. Лучше всего пользоваться той системой, в которой должен быть представлен результат.
Задание 14. (Задание А6 демоверсии 2004 г.)
Вычислите значение суммы в десятичной системе счисления:
102+108+1016 =?10
Решение.
Переведем все числа в десятичную запись:
102+108+1016 = (1*21+0*20) + (1*81+0*80) + (1*161+0*160) = 2+8+16=2610.
Ответ: 26.
Задание 15.
Найдите сумму x+y, если x=11101012 , y=10110112. Ответ представьте в восьмеричной системе.
Решение.
Найдем сумму: 11101012 + 10110112 :
| Дописывание единицы | ||||||||
| Первое слагаемое | ||||||||
| Второе слагаемое | ||||||||
| Сумма |
11101012 + 10110112 = 110100002
Переведем получившееся число из двоичной системы счисления в восьмеричную:
11 010 000 → 3208.
3 2 0
Ответ: 320.
Задание 16. (Задание B1 демоверсии 2004 г.)
В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Найдите это основание.
Решение.
Обозначим искомое основание через n. Исходя из правил записи чисел в позиционных счислениях 110n=n2+n1+0. Составим уравнение: n2+n=12, найдем корни: n1=-4, n2=3. Корень n1=-4 не подходит, так как основание системы счисления, по определению, натуральное число большее единицы. Проверим, подходит ли корень n=3:
1103=1*32+1*31+0=9+3=1210
Ответ: 3.
Задание 17.
В классе 11112 девочек и 11002 мальчиков. Сколько учеников в классе?
Решение.
11112=1*23+1*22+1*21+1*20→8+4+2+1=1510.
11002=1*23+1*22+0*21+0*20→8+4=1210
1510+1210=2710
Ответ: в классе 27 учеников.
Задание 18.
В саду 100х фруктовых деревьев, из них 33х яблони, 22х груши, 16х слив и 5х вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья?
Решение.
100х = 33х + 22х + 16х + 5х
1*х2=3*х1+3*х0+2*х1+2*х0+ 1*х1+6*х0+5*х0
х2=3х+3+2х+2+ 1х+6+5
х2-6х-16=0
D=b2-4ac=36+4*16=36+64=100
x1,2= 
= (6±10)/2
x1= - 2 – не удовлетворяет смыслу задачи,
x2= 8 – основание искомой системы счисления.
Ответ: деревья посчитаны в восьмеричной системе счисления.
Задание 19.
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 17 оканчивается на 2.
Решение.
Последняя цифра в записи числа представляет собой остаток от деления числа на основание системы счисления. Поскольку 17-2=15, то искомые основания систем счисления будут являться делителями 15, это: 3, 5, 15.
Проверим наш ответ, представив число 17 в соответствующих системах счисления:
| -15 | -15 |  -15
|  1
| ||||||||
  2
| -4 | 2
| -2 |   1
| 2
| ||||||
  1
| -2 |   1
| 1
| ||||||||
 0
| |||||||||||
| 1710 = 10123 | 1710 = 1125 | 1710 = 1215 |
Ответ: 3, 5, 15.
Задание 20.
В системе счисления с некоторым основанием число 17 записывается как 101. Укажите это основание.
Решение.
1710 = 101х = 1*х2 + 0*х1+ 1 х0
17=х2+1,→ х2=16,→ x1,2=± 
=±4
x1= - 4 – не удовлетворяет смыслу задачи,
x2= 4 – основание искомой системы счисления.
Ответ: 4.
Арифметические действия с числами в восьмеричной и шестнадцатиричной системах счисления выполняются по аналогии с двоичной и десятичной системами. Для этого необходимо воспользоваться соответствующими таблицами. Для примера табл. 1.7 иллюстрирует сложение и умножение восьмеричных чисел.
