Дифференциальные уравнения

Опред. Обыкновенным дифф. уравнением называют уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у=у(х) и ее производные у′, у′′,…, уⁿ, т.е. уравнение вида

F(х, у, у′, у′′,…, уⁿ) = 0.

Опред. Порядком дифф. уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Задача.

Найти решение дифф. уравнения (т.е. функцию у), которая удовлетворяет уравнению у′ = f(х).

Данное уравнение решается в теории неопределенных интегралов:

у = ∫f(х)dх

у = F(х) + С.

 

 

 

 

 

В общем случае дифф. ур. второго порядка можно записать в виде F(х; у; у′, у′′) = 0, где у = у(х) – искомая функция, у′ = у′(х) и

у′′ = у′′(х) – ее производные по х первого и второго порядков, а F – заданная функция переменных х; у; у′, у′′.

Дифф. ур. вида у′′ + ру′ + qу = f(х) (1), где р и q – некоторые числа, называют дифф. ур. второго порядка.

Если f(х)≡0, то уравнение (1) называется однородным.

Для решения однородного дифф. ур. второго порядка составляется характеристическое уравнение, которое имеет вид λ² + pλ + q = 0.

Характеристическое уравнение получается заменой у′′ на λ², у′ на

λ, q на 1.

Решая данное квадратное уравнение, находим λ₁ и λ₂.

Возможны три случая:

λ1 ≠ λ2 действ., разл. корни	λ1 = λ2 = λ	λ1,2 = α ± βi компл., разл. корни
у0 = С1е λ1х + С2 е λ2х	у0 = (С1 + С2х) е λх	у0 = еαx(С1cosβx + С2sinβx)

 

 

 

 

 

 

 

Теория вероятностей.

 

 

 

Статистика.

Закон распределения случайной величины удобно записывать в виде таблицы.

На первой строчке записывается значение случайной величины, а на второй – вероятность наступления события.

n

∑ p_i = 1.

I=1

Математическим ожиданием случайной величины называется число, равное сумме произведений всех значений случайной величины на вероятности этих значений, т.е.

n

МХ = ∑ x_ip_i

_i=1

_{Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.}

Дисперсию находят по формуле:

ДХ = М(Х²) – (МХ)²

 

 

 

 

 

 

 

Ряды.

Пусть задана числовая последовательность а_n, nЄN, тогда выражение а₁+а₂+ …+а_n +… называется числовым рядом и обозначается ∞

∑ а_n

n = 1

Числа а₁, а₂, …а_n называются членами ряда, соответственно

первым, вторым и т.д. а_n называется п-м или общим членом ряда,

S₁ = а₁, S₂ = а₁+а₂, …., S_n = а₁+а₂+ …+а_n … называют частичными суммами ряда.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Необходимый признак сходимости, вообще говоря, не гарантирует сходимости ряда. Сходимость или расходимость ряда устанавливается с помощью достаточных признаков. Признаки сравнения, которые мы рассмотрим ниже, как раз и представляют собой достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.

 

Если частичная сумма ряда при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится к или ), то такой ряд называется расходящимся.

 

Если ряд сходящийся, то значение при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S.

 

Так называемый обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при 0 < p ≤ 1.

 

Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами

 

 

выполняется условие , то ряд сходится при и расходится при .

 

Признак Даламбера не дает ответа, если .

 

Признак сравнения.

∞ ∞

Пусть для рядов ∑ а_n и ∑в_n выполняется условие: существует N

n=1 n=1

такое что 0 ≤ а_n ≤ в_n для всех n ≥N.

Тогда, если ряд в_n сходится, то и ряд а_n сходится.

Если же ряд в_n расходится, то и ряд а_n расходится.

 

 

 

 

Если члены ряда:

числа, то ряд называется числовым;

числа одного знака, то ряд называется знакопостоянным;

числа разных знаков, то ряд называется знакопеременным;

положительные числа, то ряд называется знакоположительным;

числа, знаки которых строго чередуются, то ряд называется знакочередующимся;

функции, то ряд называется функциональным;

степени, то ряд называется степенным;

тригонометрические функции, то ряд называется тригонометрическим.