Опр. Пусть G – открытое мн-во на числовой оси. Говорят, что обобщенная ф-ция f обращается в нуль (или равна нулю) на мн-ве G, если для любой финитной ф-ции x из D, носитель которой содержится в мн-ве G, имеем: f(x)=0.
Теорема 1 (о существовании наибольшего мн-ва, на котором обобщенная ф-ция обращается в нуль) Для любой обобщенной ф-ции f существует наибольшее открытое мн-во 
, на котором f обращается в нуль.
Опр. Носителем обобщенной ф-ции f называется множество, обозначаемое sup f, являющееся дополнением к наибольшему открытому мн-ву , на котором f обращается в нуль, т.е. 
.
Примеры:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Теорема 2 (о носителе производной) Для любой обобщенной ф-ции f носитель f’ содержится в носителе обобщенной функции f, т.е. имеет место следующее соотношение:
.
Теорема 3 (о носителе первообразной) Для любой обобщенной ф-ции f, носитель которой содержится в замкнутой полуоси 
, 
, существует единственная первообразная F, носитель которой также содержится в , т.е. имеет место следующее соотношение
.
Опр. Обобщенная ф-ция с компактным носителем называется обобщенной финитной ф-цией.
Теорема 4 (о конечной сингулярности финитных обобщенных ф-ций). Любая финитная обобщенная ф-ция имеет конечный порядок сингулярности.
Теорема 5 (о распространении финитных обобщенных функций на пространство 
) Любую финитную функцию можно распространить до функционала, определенного на пространстве .
Лемма (о плотности D в пространстве ) Пространство D всюду плотно в пространстве , т.е. любая ф-ция из может быть представлена в виде предела последовательности финитных ф-ций.
Теорема 6 (о единственности распространения финитных обобщенных ф-ций) Распространение финитной обобщенной ф-ции до линейного непрерыного функционала на пространстве есдинственно.
Теорема 7 (об обобщенной ф-ции с точечным носителем) Если носитель обобщенной ф-ции f – одноточечное множество { s } 
, то такие неотрицательное число m и константы 
, что f представима в следующем виде:
.
9. Нелинейные эволюционные операторы с обобщенными импульсными характеристиками: основные определения и свойства.
Пусть 
– пр-во финитных слева бесконечно дифференцируемых функции на числовой оси. Зафиксируем натуральное число 
и рассмотрим 
– -cтепень пр-ва 
.
Обозначим через 
тензорную степень мультииндекса 
вектор-функций 
:
Пусть 
и 
– натуральные числа, 
– пр-во всех обобщенных –мерных вектор-функций на пр-ве 
с носителем на 
.
Пусть 
– оператор сокращения переменных степени :
, где 
– -мерная вектор-функция на пр-ве .
Опр. Эволюционным оператором кратности 
наз. оператор 
, действующий по формуле
где суммирование ведется по мультииндексам 
не равным нулю, 
, 
- 
-мерная свертка.
Опр. Эволюционный оператор кратности (1, 1) наз. оператором Вольтерра-Винера.
Опр. Обобщенную вектор-функцию 
наз. импульсной характеристикой мультииндекса эволюц. оператора .
Опр. Семейство 
– семейством импульсных характеристик оператора .
Опр. Оператор 
, определяемый рав-вом
наз. –й компонентой оператора .
Опр. Если 
, то наз. однородным эволюционным оператором степени .
Опр. 
– мн-во эволюционных операторов степени .
Св-ва оператора 
:
1) Линейность и непрерывность относительно -й тензорной степени: отображение 
линейно и непрерывно.
2) Сохранение нуля: 
3) Однородность степени : для 
и 
имеет место рав-во 
,
где 
, 
4) Причинность: если 
, то 
Опр. Для любого фиксированного нат. числа определим оператор 
, который наз. однородной компонентой –й степени эволюционного оператора .
Опр. Оператор 
– наз. полиномиальной компонентой степени 
оператора .
Опр. Полиномиальные операторы степени 1 наз. линейными эволюционными операторами. Они имеют след. вид: 
, 
Примером линейного эволюц. оператора кратности (2,1) явл. оператор суммирования 
: положим 
(
- ф-ция Дирака), тогда 
Оператор умножения 
явл. уже однородным эволюц. оператором степени 2 кратности (2,1): положим 
и 
, тогда 
10. Тензорное произведение эволюционных операторов.
Рассмотрим вначале тензорное произведение реакций двух эволюц операторов:
Пусть А и В – эволюц операторы кратностей 
и 
соотв-нно:
И пусть 
-реакций операторов А и В соотв-нно на входные воздействия 
.
Рассмотрим тензорное произ-ние 
. В силу билинейности и непрерывности тензорного произведения имеем:
где 
-оператор сокращения переменных, действие которого на произвольную ф-цию f, имеющей 
независимых переменных, определяется формулой
Лемма1:Пусть a и b- финитные слева обобщённые вектор-функции n и m переменных соответственно, w и z- финитные слева скалярные обобщённые функции n и m переменных соответственно.Тогда сараведливо следующее равенство: (a*w) 
(2).
Применяя равенство (2) к соотношению (1),получаем 
= 
Полагая же в равенстве (3) y=x, имеем: 
= 
Теорема (о тензорном произведении реакций двух эволюционных операторов): пусть А и В – эволюционные операторы:
Тогда справедлива формула:
(4)
_______________________________
Опр: Композицией мультииндекса 
будем наз-ть такой конечный набор мультииндексов 
, где 
, таких, что для любого 
выполняется рав-во 
т.е.
.
Мультииндексы 
наз-ся частями композиции 
.
Множество всех композиций мультииндекса с m частями будем обозначать 
.
